Longitud del conjunto abierto

Question

Pregunta:- $G_1$ y $G_2$ son conjuntos abiertos en $[a,b]$ , $G_1 \subseteq G_2$ entonces demuestre que la longitud de $G_1$ es menor o igual que la longitud de $G_2$ .

Tomo el intervalo abierto al azar $(a,b)$ como $G_1$ y $(c,d)$ como $G_2$ y con ayuda de la desigualdad lo demostré pero el profesor de la asignatura dijo que es sólo un caso particular, da una solución más general.

En algún momento vi una insinuación como toma $G_1$ y $G_2$ como unión de conjuntos abiertos y luego tratar de demostrar.

¿Alguna idea de cómo probarlo?

Answer 1

Sabemos que la medida de Lebesgue es una generalización de la longitud en la recta real y es regular interna, es decir

$m(A)=\inf \{m(O)| O$ está abierto y $A \subseteq O \}$

Así, $m(G_1)= \inf \{m(O)| O$ está abierto y $G_1 \subseteq O \} \leqslant m(G_2)$ porque $G_2$ es un conjunto abierto que contiene $G_1$ .

Esta es una forma de demostrarlo.

Recordemos que la medida de Lebesgue es la restricción de la medida exterior de Lebesgue $m^*$ es el álgebra sigma de los conjuntos medibles de Lebesgue, y también sabemos que $m^*((a,b))=b-a$ .

Recuerda también que todo conjunto abierto en la recta real es una unión de intervalos abiertos disjuntos.