Pensamiento intuitivo del lanzamiento de un dado justo P(n) = 1 + ... +n = número de tirada

Question

Estoy resolviendo una pregunta así

Se lanza repetidamente un dado justo y se mantiene un total corriente (que es, en cada momento, el total de todas las tiradas hasta ese momento). Sea pn la probabilidad de que el total acumulado sea alguna vez exactamente n (supongamos que el dado se lanzará siempre suficientes veces para que el total acumulado supere eventualmente a n, pero puede o no ser nunca igual a n).

la pregunta es
Dé una explicación intuitiva para el hecho de que p(n) <- 1/3,5 = 2/7 cuando n = infinito.

la explicación está más abajo,

Una explicación intuitiva es la siguiente. El número medio lanzado por el dado es (total de puntos)/6, que es 21/6 = 7/2, por lo que cada lanzamiento suma una media de 7/2. Por lo tanto, podemos esperar caer en 2 de cada 7 números, y la probabilidad de caer en cualquier número en particular es de 2/7.

Esa es la línea que no entiendo, por qué podemos transferir

Answer 1

Explico esto informal argumento de forma ligeramente diferente. Dejemos que $p(i)$ sea la probabilidad de que el total de la carrera sea igual a $i$ en algún momento.

1. Tenga en cuenta que $k = p(1) + \dots + p(n)$ es igual al número esperado de valores entre $1$ y $n$ que toma la suma corrida (por la linealidad de la expectativa). En concreto, dejemos que ${\cal E}_i$ sea el caso de que la suma corrida tome valor $i$ y $e_i$ sea la variable indicadora del evento ${\cal E}_i$ (es decir, $e_i =1$ si ${\cal E}_i$ sucede; $e_i=0$ en caso contrario). Entonces el número esperado de valores que toma la suma corrida es igual a $$\mathbb{E}[e_1 + \dots + e_n] = \mathbb{E}[e_1] + \dots + \mathbb{E}[e_n] = \mathrm{Pr}[{\cal E}_1] + \dots + \mathrm{Pr}[{\cal E}_n] = p(1) + \dots p(n).$$
2. Dado que el incremento medio es $7/2$ tenemos que $k \approx \frac{2}{7} n$ .
3. Por otro lado, intuitivamente todos los valores $p(i)$ son aproximadamente igual (esto no es cierto para valores pequeños de $i$ pero es cierto para valores grandes de $i$ ).

Así, $\frac{2}{7} n \approx p(1) + \dots p(n) \approx n p(n)$ . Por lo tanto, $p(n) \approx 2/7$ .

Answer 2

Esta es una manera de pensar en ello. Supongamos que lanzas el dado 1000 veces. ¿Qué suma obtendrá? Bueno, por supuesto, podría ser cualquier cosa desde 1000 a 6000, pero esperar para estar bastante cerca de los 3500, ¿verdad? Así que esperas sacar 1000 números en el camino hacia la suma 3500. Bueno, conseguir 1000 números de 3500 es conseguir, de media 2 números de cada 7. Aterrizar en 1000 números en el camino a 3500 es aterrizar en dos séptimas partes de los números. Así que la probabilidad de caer en cualquier número en particular es de 2/7.

Answer 3

Para simplificar, considere que puede empezar con cualquier número aleatorio pequeño. Luego, en cada paso se aumenta en '1'. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a un número grande concreto? Intuitivamente, la respuesta debería ser 1. Ahora, ¿qué pasa si tu incremento es ' $2$ '? De nuevo, la probabilidad debería ser $(0.5=\frac{1}{2})$ para alcanzar un número grande específico. Para nuestro problema, se ha comprobado que, por término medio, aumentamos el total en (7/2=3,5). Esto debería dar la impresión intuitiva de que nuestra probabilidad de alcanzar un número grande es $(\frac{1}{3.5}=\frac{2}{7})$ .