Las propiedades geométricas pueden describirse a menudo como propiedades de $B(X)$ (o subespacios del mismo) o como propiedades sobre $X$ . (Por supuesto, sólo los llamamos "geométricos" si podemos describirlos en $X$ ). A veces, las propiedades geométricas se observaron por primera vez como propiedades de los operadores. Permítanme dar un ejemplo:
En 1964, si no me equivoco, Daugavet observó que en $C([0,1])$ cada compacto $T\in K(C[0,1])$ (denotando por $K(X)$ el espacio de operadores compactos sobre $X$ ) tiene la máxima distancia a la identidad, es decir, tenemos \[ ||mathrm{Id} + T\|| = 1 + \| T\|, \quad T \in K(C[0,1]) \] Esta propiedad parece en primer lugar una propiedad de los operadores, pero curiosamente, esta propiedad, que después se llamó propiedad de Daugavet, se puede describir geométricamente. Un espacio $X$ se dice que es (un) espacio de Daugavet, si comparte esta propiedad. Pasemos ahora a la descripción geométrica: La parte de la bola unitaria $B_X$ que se encuentra en uno de los lados de un hiperplano se denomina rebanada, es decir, una rebanada un conjunto (para $x^* \in S_{X^*}$ y $\epsilon > 0$ ) \[ S(x^*,\epsilon) = \{x \en B_X \mid x^*(x) \ge 1 -\epsilon \} \] Un espacio es ahora exactamente entonces Daugavet si estas rebanadas tienen un diámetro "grande", es decir, dada una rebanada $S(x^*, \epsilon)$ un $y \in S_X$ y un $\delta > 0$ Hay un $x \in S(x^*, \epsilon)$ con $\|x-y\| \ge 2 - \delta$ .
