Encontrar los valores de $x,y,z$ en tres filas de ecuaciones cuadráticas

Question

$x^2+xy+y^2=25$

$x^2+xz+z^2=64$

$y^2+yz+z^2=49$

$x,y,z>0$ $x+y+z=?$

Primero he nombrado las filas en orden $R_1,R_2,R_3$ como he intentado

$R_3-R_1$ $R_2-R_3$ y $R_2-R_1$ dan resultados razonables. Entonces tuve lo siguiente

$(z-x).(x+y+z)=24$

$(x-y).(x+y+z)=15$

$(z-y).(x+y+z)=39$

Es obvio que si sumo las dos primeras filas es igual al valor de la tercera fila. Así que he vuelto al punto de partida. Tal vez la solución puede ir más allá de aquí, no lo sé, pero hay otra idea que tenía.

Sabemos que $\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ En otras palabras, la media aritmética es mayor o igual que la media geométrica.

Procedimiento $x^2+xy+y^2\ge\sqrt[3]{x^3y^3}\rightarrow\dfrac{25}{3}\ge xy$

Utilizando el mismo método $\dfrac{64}{3}\ge xz$ y $\dfrac{49}{3}\ge yz$

He multiplicado estas expresiones y he llegado a la conclusión de que $\dfrac{280}{9}\ge xyz$

$x+y+z\ge 3.\sqrt[3]{xyz}$ Aproximadamente

$x+y+z\ge 11,3313$ Este es el valor aproximado de $\sqrt{129}$

Para resolver completamente este problema necesito demostrar que $x+y+z$ es ciertamente igual. Y mi pregunta es la siguiente;

¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Dejemos que $\Delta ABC$ tal que $AB=c=7$ , $AC=b=8$ y $BC=a=5$ .

Es fácil ver que este triángulo es un triángulo acutángulo,

que dice que hay un punto $F$ dentro del triángulo para el que

$\measuredangle AFB=\measuredangle AFB=\measuredangle AFB=120^{\circ}$ .

Este punto se llama punto de Fermat del triángulo.

Ahora, dejemos que $FA=z$ , $FB=y$ y $FC=x$ .

Así, por ley de los cosenos obtenemos su sistema y necesitamos encontrar un valor de $FA+FB+FC$ .

En efecto, por la ley de los cosenos de nuevo tenemos $\cos\alpha=\frac{8^2+7^2-5^2}{2\cdot8\cdot7}=\frac{11}{14}$ .

Utilizaremos la rotación $R^{60^{\circ}}_{A}$ de $\Delta ABC$ (alrededor de $A$ en $60^{\circ}$ ).

Dejemos que $R^{60^{\circ}}_{A}(F)=F'$ y $R^{60^{\circ}}_{A}(C)=C'$ .

Por lo tanto, ya que $\Delta AFF'$ es un triángulo equilátero, $$x+y+z=CF+BF+AF=C'F'+BF+FF'=C'F'+F'F+FB=C'B,$$ $AF'=AC=b=8$ y $\measuredangle F'AB=60^{\circ}+\alpha$ .

Así, por ley de los cosenos para $\Delta C'AB$ obtenemos: $$x+y+z=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos(60^{\circ}+\alpha)}=$$ $$=\sqrt{8^2+7^2-2\cdot8\cdot7\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{11}{14}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{5\sqrt3}{14}\right)}=\sqrt{129}.$$ ¡Hecho!

Answer 2

Mover los comentarios a una respuesta como señal de mi confianza en que el proceso conduce a una respuesta. Esta no es una solución completa. Estoy dejando un poco de la diversión para el OP.

Reduciendo esto a polinomios simétricos elementales sugiere el siguiente ataque. Escribe $s_1=x+y+z$ , $s_2=xy+yz+zx$ , $s_3=xyz$ y $r_1=x^2+xy+y^2$ , $r_2=y^2+yz+z^2$ , $r_3=z^2+zx+x^2$ . Entonces es fácil comprobar que $$ \begin{aligned}r_1+r_2+r_3&=2s_1^2-3s_2,\\ r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1&=s_1^4-3s_1^2s_2+3s_2^2. \end{aligned}$$ Se le dan los valores de $r_1,r_2,r_3$ . Y a partir de este par de ecuaciones deberías ser capaz de resolver $s_1$ resolviendo $s_2$ del primero y conectarlo al segundo. Parece que conduce a una ecuación biquadrática. Esperemos que puedas eliminar todas las alternativas menos una para $s_1$ que salen.