Si el producto de polinomios es un factor lineal sin raíces repetidas, ¿qué podemos decir de los factores del producto?

Question

Esto parece ser una pregunta trivial pero no puedo encontrar una prueba para ello: Sea $P$ y $Q$ sean polinomios y $\Pi$ su producto, $\Pi = PQ$ . Si $\Pi$ puede escribirse como $(X - \lambda_1)\cdot\dots\cdot(X-\lambda_r)$ , $P$ también puede escribirse como un producto de la forma $(X - \mu_1)\cdot\dots\cdot(X - \mu_r)$ . O, en otras palabras, si $\Pi$ en factores lineales sin raíces repetidas, también lo hace $P$ .

Antecedentes: Estoy tratando de probar que si $T$ es un mapa lineal diagonalizable entonces su restricción a un subespacio invariante también es diagonalizable. Para demostrar esta proposición, utilizo el polinomio mínimo. Demostré que el polinomio mínimo de la restricción $P$ divide el polinomio mínimo de $T$ , $\Pi$ es decir $\Pi = PQ$ . Para concluir, debo argumentar por qué $P$ en factores lineales sin raíces repetidas.

Answer 1

Dejar $k$ ser el campo sobre el que estamos trabajando. Porque $k[X]$ es un UFD, todo polinomio mónico $P \in k[X]$ es un producto único de polinomios irreducibles mónicos. Sea $P = P_1 \cdots P_t$ sea la factorización en irreducibles mónicos, permitiendo la repetición, y análogamente $Q = Q_1 \cdots Q_s$ . Entonces $\Pi = P_1 \cdots P_t Q_1 \cdots Q_s$ . Pero la factorización de $\Pi$ en irreducibles mónicos es único hasta la permutación, y por supuesto sus factores irreducibles tienen grado $1$ . Por lo tanto, debe ser que $P_1, \ldots, P_t$ y $Q_1, \ldots, Q_s$ todos tienen título $1$ .