¿Define el objeto exponencial sin referencia al producto cartesiano?

Question

En la teoría de categorías, el objeto exponencial $X^Y$ se define, a grandes rasgos, diciendo que si tomamos algún otro objeto $Z$ y el producto entre $Z$ y $X$ entonces cualquier morfismo de ese producto a $Y$ tiene un morfismo equivalente que "atraviesa" $X^Y$ .

Sin embargo, lo que me parece raro de esta construcción (nótese que la teoría de categorías en general me resulta rara), es que necesitamos un tercer objeto $Z$ y la suposición de que existe un producto cartesiano entre ellos, para definir el objeto exponencial $X^Y$ .

¿No es posible definirlo más directamente de alguna manera? Intuitivamente parece que no hace falta hablar de $Z$ o sobre productos cartesianos, para hablar de funciones de $X$ a $Y$ (Ya sé que la teoría de las categorías no trata sólo de funciones, pero así es como lo pienso intuitivamente).

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que la idea de una propiedad universal en la teoría de categorías se define prácticamente siempre en términos de algunos otros objetos, por lo que la idea de añadir $Z$ en la definición no es especial para los exponenciales:

• $T$ es un objeto terminal en una categoría si, para cualquier otro objeto $X$ existe un morfismo único $X \to T$ .

• $C$ es el producto de $A$ y $B$ si hay mapas $C \to A$ y $C \to B$ y para cualquier otro objeto $D$ con mapas $f: D \to A$ y $g: D \to B$ existe un morfismo único $D \to C$ que $f,g$ factor a través de.

La cuestión es que para definir un objeto, sólo se puede hacer referencia a otros objetos de la categoría - por lo que esta es realmente la forma más directa también para definir el objeto exponencial.

En cuanto a la necesidad de que existan productos binarios, esto puede parecer impar a primera vista, pero aparentemente resulta ser la definición más sensata. Personalmente, pienso en el objeto exponencial $X^Y$ como el objeto más general (en algún sentido impreciso) para el que dar un $Y$ se combina con ella para dar un $X$ .

Answer 2

Lo más parecido que se puede hacer es definir un cerrado categoría. Esta es una para la que existen elecciones functoriales de exponenciales junto con un objeto unitario $I$ equipado con un mapa a cada objeto endomorfismo $X^X$ que es neutral para una familia asociativa dada de mapas de composición. Todo tiene que ser dicho en forma curada: por ejemplo el mapa de composición va $X^Y\to (Z^X)^{Y^Z}$ . Si pides que tus funtores de exponenciación sean contiguos a la derecha, entonces tienes una categoría cerrada monoidal, no en general una cerrada cartesiana. Hay una propuesta en la página de nLab para las categorías cerradas de que debería haber una caracterización de las estructuras internas de Hom cuyos adyacentes izquierdos, si existen, son monoidales cartesianos en términos de la existencia de mapas de morfismo constante $X\to X^Y$ y otra familia correspondiente a las diagonales.

Las categorías cerradas se utilizan con relativa poca frecuencia, en parte por razones psicológicas: las homs contravariantes crean transformaciones naturales adicionales, y la gente las encuentra molestas. También existe la razón práctica de que las categorías cerradas que no son monoidales son más bien raros, y la razón teórica de que se puede incrustar una categoría cerrada en una cerrada monoidal.