¿Cómo construyo dos vectores $a,b\in \mathbb{R}^{n}$ , $a=(a_1,a_2,\ldots, a_n)^T$ y $b=(b_1,b_2,\ldots, b_n)^T$ que cumplen las siguientes condiciones \begin{align} & a_ib_i\geq 1,a_ib_j<1, i\neq j, \quad i,j=1,2,\ldots, n,\\ & \hspace{40 mm} \text{or}\\ & a_ib_i> 1,a_ib_j\leq1, i\neq j, \quad i,j=1,2,\ldots, n. \end{align}
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Esta pregunta podría hacerse en el MSE.
Utilizando la nueva redacción del problema de Gerry Myerson, el análisis que sigue muestra que no es posible que algunos $n$ . Para $n=2$ es posible, pero para $n\geq 3$ no lo es. Tome el caso $n=3$ y dejemos que las entradas del primer vector se denominen $a,b,c$ con los del segundo vector $d,e,f$ por lo que la matriz del producto exterior viene dada por $$\begin{pmatrix} ad & ae & af \\ bd & be & bf \\ cd & ce & cf \end{pmatrix}.$$
Las condiciones exigen que $ad\geq1$ , $be\geq1$ Así que dar $adbe\geq 1$ y $ae<1$ , $bd<1$ dar $ae$ y $bd$ son negativos. Consideraciones similares implican $af,bf,cd,ce$ son negativos. Sin embargo, debe darse el caso de que exactamente $a$ o $e$ es negativo, y lo mismo ocurre con $b$ y $d$ , $c$ y $d$ y así sucesivamente. Si $a$ y $d$ son negativos, entonces $e$ es positivo y por lo tanto $ce$ es positivo, lo que contradice los supuestos. Pero entonces $d$ es positivo, por lo que $c$ y $b$ son negativos. También, $e$ es positivo (ya que $c$ es negativo). Por desgracia, esto es un problema, ya que $be$ es ahora negativo. Cambiando las desigualdades de ' $\geq$ ' a ' $>$ no remedia este problema.
(Cualquier matriz de tamaño superior a $n=3$ tendrá un $n=3$ sistema como una submatriz por lo que basta con considerar $n=3$ para responder a la cuestión de la existencia de mayores $n$ .)
