Demostrar que el foco de una parábola se encuentra en el circuncentro de un triángulo

Question

Hace poco me encontré con el hecho de que si una parábola toca los tres lados de un triángulo entonces el foco de dicha parábola se encuentra en la circunferencia del citado triángulo.

Intenté probarlo pero sin mucha información no pude llegar a donde empezar.¿La propiedad anterior de la parábola se aplica también a otras secciones cónicas? Se agradece cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

Prueba corta:

Necesitas dos lemas:

1. El pie de la perpendicular del foco a una tangente de la parábola se encuentra en la tangente del vértice.Eso significa que los pies de la perpendicular a los tres lados del triángulo formado por las tangentes se encuentran en una línea recta, llamada Línea de Simson que nos lleva a utilizar

2. Teorema de Simson-Wallace: Los pies de las perpendiculares de un punto a los lados de un triángulo son colineales si el punto se encuentra en la circunferencia.

Ahora se deduce que el foco está en la circunferencia

Answer 2

De otra manera: Que las tres líneas sean tangentes en $t_1, t_2, t_3$ en la parábola. Entonces los puntos de intersección de estas tangentes, que forman los vértices del triángulo son $A(at_1t_2, a(t_1+t_2))$ etc.

A continuación se puede demostrar que estos puntos junto con $(a,0)$ formar un cuadrilátero cíclico, utilizando las pendientes para demostrar que los ángulos opuestos son complementarios.

Answer 3

)Lo siguiente funciona, pero no es muy inspirador:

Tomemos la parábola como $y=x^2$ con enfoque $F$ en $\bigl(0,{1\over4}\bigr)$ . La tangente $t_a$ en $(a,a^2)$ tiene la ecuación $y=2ax-a^2$ . Intersección $t_a$ con $t_b$ da el vértice $C=\left({a+b\over2},ab\right)$ del triángulo. Por simetría tenemos entonces $A=\left({b+c\over2},bc\right)$ y $B=\left({c+a\over2},ca\right)$ . Los cálculos posteriores conducen al circuncentro $$M=\left({1\over4}(a+b+c-4abc), \ {1\over8}(1+4ab+4bc+4ca)\right)\ ,$$ y el circunradio $R$ satisface $$R^2={1\over64}(1+4a^2)(1+4b^2)(1+4c^2)\ .$$ Ahora es fácil comprobar que $F$ se encuentra en la circunferencia de $\triangle(ABC)$ .