Estabilizadores de la acción continua profinita sobre un conjunto discreto finito

Question

Necesito demostrar la equivalencia de las categorías de finitas $G$ -y la categoría de conjuntos discretos finitos con una acción continua de la terminación profinita de $G$ . Para cualquier grupo G.

Ya tengo un functor de la categoría de $G$ -se ajusta a la categoría $G^*$ -sets(no sé cómo colocar un sombrero en una letra en látex). De la siguiente manera:

Dejemos que $N_i$ sean los subgrupos normales de $G$ de índice finito, entonces para cualquier $G$ -S tenemos que $\prod_i S^{N_i}$ es un $G^*$ -con la extensión natural de la acción dada de G.

Ahora a reconstruir $S$ de $\prod_i S^{N_i}$ (producto de los elementos fijos de $N_i$ ), necesito que no se pierdan puntos (u órbitas). Dado que todas las órbitas tienen una clase de conjugación de estabilizadores, necesito que estas clases consistan en un subgrupo(uno normal :)), de modo que este producto sea un producto de todas las órbitas, no sólo de algunas.

¿Cómo puedo demostrarlo? Sugerencias, por favor.

Answer 1

No entiendo cómo $\widehat{G}=\varprojlim G/N$ se supone que actúa sobre $\prod S^N$ (producto de conjuntos de puntos fijos); además, el producto $\prod S^N$ no tiene por qué ser finito, ¿no? Puedo ver que $\varprojlim G/N$ actúa sobre $\varprojlim X/N$ pero, de nuevo, necesitamos un finito conjunto. En su lugar, invirtamos la dirección de nuestro deseado isomorfismo natural.

Dada una $\widehat{G}$ -Configurar $X$ que es finito, discreto y tiene acción continua, ya que $G\subseteq\widehat{G}$ canónicamente obtenemos un $G$ -acción sobre $X$ gratis. Esta construcción es funcional; si $X\to Y$ es $\widehat{G}$ -equivariante entonces en particular debe ser $G$ -equivariante. Obsérvese que si $X$ es un finito $G$ -sujeción entonces ${\rm Sym}(X)$ es finito y el núcleo $N$ de $G\to{\rm Sym}(X)$ debe ser de índice finito; dada esta información podemos equipar $X$ ahora con un $\widehat{G}$ -acción dada por $\widehat{G}\to G/N\to{\rm Sym}(X)$ . Comprueba que esta acción es continua si imponemos la topología discreta en $X$ y que esta construcción es funtorial, y es inversa al otro funtor que tenemos, lo que nos da un par de funtores inversos ${\sf FinSet}_G\leftrightarrow {\sf DiscFinSet}_{\widehat{G}}$ .