cohomología racional de grupos simétricos

Question

Dejemos que $\Sigma_k$ sea el $k$ -grupo simétrico y $B\Sigma_k$ sea su espacio clasificatorio. Cómo se demuestra:

para cualquier $n\geq 1$ y el $n$ -esqueleto $sk_n (B\Sigma_k)$ existe una dimensión finita $CW$ -complejo $K$ tal que

(i). $sk_n(B\Sigma_k)\subseteq K\subseteq B\Sigma_k$ ;

(ii). $H^*(K;\mathbb{Q})$ ¿es trivial?

¿Podría dejar que $K=B\Sigma_k$ ?

Answer 1

Toma el $n$ -Esqueleto. Tiene homología racional trivial excepto posiblemente en grado $n$ . Ahora añada suficiente $n+1$ -células del $n+1$ - esqueleto para matar esta homología superior. No habrá creado ningún $n+1$ -ya que el operador de frontera $\partial_{n+1}\colon C_{n+1}\to C_n$ es un isomorfismo racional sobre $\ker(\partial_n)$ . Esta construcción funciona para cualquier grupo finito, no sólo para el grupo simétrico.

Answer 2

Si quieres demostrar que la cohomología de grupo $H^{\ast}(\Sigma_{n},\mathbb{Q})=0$ se utiliza el hecho de que $\mathbb{Q}$ es un proyectivo $\mathbb{Q}[\Sigma_{n}]$ -(teorema de Maschke) por lo tanto por definición $$H^{\ast}(\Sigma_{n},\mathbb{Q})=Ext^{\ast}_{\mathbb{Q}[\Sigma_{n}]}(\mathbb{Q},\mathbb{Q})=0$$ para $\ast >0$ .

En general, si $G$ es un grupo finito y $K$ un campo tal que su característica no divide $|G|$ entonces $$H^{\ast}(G,K)=0$$ para $\ast >0$ .