¿Tiene solución este sistema de ecuaciones diofánticas?

Question

¿Hay números naturales $a,b,c,d,e,f$ tal que tenemos $a \neq b$ y $a \neq c$ y $b \neq c$ y que son solución de este sistema de ecuaciones:

$9ab-3a-3b+1=d^2$

$9ac-3a-3c+1=e^2$

$9bc-3b-3c+1=f^2$

Answer 1

Hay infinitos. Déjalo,

$$a = (2p+1)^2+2p^2\\ b = (2q+1)^2+2q^2\\ c = (2r+1)^2+2r^2$$

entonces,

$$d =4(3p+1)^2(3q+1)^2\\ e =4(3p+1)^2(3r+1)^2\\ f =4(3q+1)^2(3r+1)^2$$

Answer 2

Sí, dejemos que $3a-1,3b-1,3c-1$ sea $2^3,2^5,2^7$ .

Answer 3

Sí, infinitamente. Todas las soluciones se pueden obtener a partir de las condiciones $$\begin{cases} 3a-1=(3t-1)x^2\\ 3b-1=(3t-1)y^2\\ 3c-1=(3t-1)z^2\\ 3\not|\ xyz,\\ x,y,z,t\in\mathbb Z \end{cases}$$