Cómo calcular las nuevas dimensiones de la caja a partir de una reducción del volumen

Question

Tengo una caja rectangular con unas dimensiones dadas $l, w, h$ con volumen disponible $v = lwh$ . Si sólo puedo empacar hasta el 80% de $v$ ¿Cómo puedo determinar las nuevas dimensiones, más pequeñas, de manera que el nuevo $v = lwh$ es el 80% del original $v$ donde las nuevas dimensiones deben reducirse proporcionalmente para conservar la forma original de la caja?

Estoy intentando escribir un código en C# para hacer pruebas de empaquetado de cajas, pero este algoritmo no considera un umbral de volumen de caja, sólo empaqueta según las dimensiones. Gracias.

Answer 1

Supongamos que la nueva longitud $l'=kl$ , nueva anchura $w'=kw$ y nueva altura $h'=kh$ donde $k$ es la relación entre las nuevas dimensiones y las antiguas. Tenemos $l'w'h'=k^3lwh=0.8lwh$ Por lo tanto $k=0.8^{1/3}$ .

Answer 2

Usted ya sabe que $v = lwh$ por lo que se quiere determinar nuevas dimensiones para las que $v' = 0.8v$ . Así que podría reducir cualquier un de las tres dimensiones, como $w' = 0.8w$ para hacer eso. Si quieres encoger la caja pero mantener las proporciones, sólo tienes que distribuir el factor:

$$v' = 0.8v = 0.8lwh = \sqrt[3]{0.8}l\sqrt[3]{0.8}w\sqrt[3]{0.8}h$$ $$l' = \sqrt[3]{0.8}l$$ $$w' = \sqrt[3]{0.8}w$$ $$h' = \sqrt[3]{0.8}h$$

En otras palabras, basta con reducir cada dimensión en $\sqrt[3]{80\%}$ o multiplicar cada dimensión por $\approx 0.9283$ .