Generalmente se llama el número de grupos nonisomorphic de orden $n$ $\nu(n)$. Encontré una muy buena encuesta sobre los valores. $\nu(n)$ es completamente conocido absolutamente hasta $n=2047$ y para muchos otros valores de $n$ demasiado (para n squarefree, hay una fórmula).
En general, sin embargo, $\nu$ es muy difícil de calcular.
Por lo tanto, me gustaría al menos tener fácil para calcular límites superior $\nu$ e inferior. ¿Se conocen tales límites?
Geoff respuesta es exactamente correcto, pero quería darle los detalles.
Si sólo desea los límites que son fáciles de calcular, sin ser capaz de demostrar a ti mismo, entonces esta respuesta debe estar muy bien. Los límites son de fácil y razonablemente ajustados. Si usted quiere entender las pruebas (que no son tan malos, y que involucran a muchos de diversión áreas de grupos finitos), y luego leer el libro: Blackburn–Neumann–Venkataraman (2007).
Pyber (1993) mostraron que para $f(n)$ el número de clases de isomorfismo de grupos de orden $n$:
$$f(n) \leq n^{(2/27)\mu(n)^2+O(\mu(n)^{3/2})}$$
donde $\mu(n) \leq \log_2(n)$ es el más alto poder de cualquier primer dividiendo $n$. Al $\mu(n)=1$ tiene la plaza libre de caso que usted menciona, y al$n=p^k$, $k=\mu(n)$ y el obligado es asintóticamente fuerte. Para $p$-grupos, bastante decente, pero ligeramente más débil de los límites fueron probada por primera vez en Higman (1960), y la mejora en los Sims (1965).
El mejor de los límites inferiores que no son ridículamente complejo de calcular y que yo pueda pensar de seguir de $f(k) \leq f(n)$ si $k$ divide $n$. En otras palabras, el conde de la nilpotent grupos de ese orden como un límite inferior. Para hacer referencia a una forma explícita de Higman del límite inferior es:
$$f(p^k) \geq p^{\tfrac{2}{27} k^2(k-6)}$$
Todos estos resultados y se explican muy bien en el libro Blackburn–Neumann–Venkataraman (2007). Lo recomiendo altamente.
El número de $p$-grupos, con el fin de $p^{n}$ (asintóticamente) alrededor de $p^{ \frac{2 n^{3}}{27}}$. Esto sugiere que uno no puede esperar que le vaya mejor que a $n^{c\log(n)^{2}}$ para algunas constantes $c$, para el número de tipos de isomorfismo de grupos de orden $n.$ no sé si el obligado ha conjeturado ( o demostrado ser malo), pero este es el tipo de encuadernado yo esperaría, y una prueba (o no) pueda ser accesible, dado CFSG. Si yo estaba mirando seriamente en esto, me gustaría comprobar que los papeles de L. Pyber ( se han realizado algunos trabajos sobre este tipo de cosas hace varios años por P. M. Neumann).
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