Límite de la relación de los coeficientes binomiales

Question

¿Cómo puedo encontrar el límite de

$$ \binom{n-a+r-2}{r-2}\bigg/\binom{n + r - 1}{ r - 1} $$

como $n\to\infty, r\to\infty, \text{ and } n/r\to\rho > 0$ ?

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Esto es lo que he probado. Por definición del coeficiente binomial, obtenemos

$$\frac{(n - a + r - 2)!}{(r - 2)!(n - a)!} \cdot \frac{(r - 1)!n!}{(n + r - 1)!} $$

Entonces puedes hacer $(r - 1)!/(r - 2)! = (r - 1)$ pero no sé qué hacer a continuación. Alguien dijo que cree que podría conseguir $\rho^{a} e^{-\rho}/a!$ (esto podría no ser correcto) como límite pero no tengo ni idea de cómo simplificar esta fracción.

Answer 1

Como dijo @metamorphy, puedes usar la aproximación de Stirling y resolverlo.

Pero si quiere atacarlo directamente: $$\frac{(n-a+r-2)!}{(n+r-1)!}.\frac{(r-1)!}{(r-2)!}.\frac{(n)!}{(n-a)!} =$$ $$= \frac{1}{(n+r-1)...(n-a+r-1)}.\frac{(r-1)}{1}.\frac{(n)...(n-a+1)}{1} \simeq$$ $$\simeq \frac{1}{(n+r)^{a+1}}.\frac{(r)^1}{1}.\frac{(n)^a}{1} \simeq \frac{1}{(r \rho +r)^{a+1}}.\frac{(r)^1}{1}.\frac{(r \rho)^a}{1} = \frac{\rho^a}{(\rho +1)^{a+1}}$$