Recientemente se me presentó la siguiente igualdad $$ n = \left[\frac{w}{2d+a}\right]\cdot \left[\frac{h}{2d+b}\right] $$ donde todas las variables participantes son enteros no negativos, y $[\ldots]$ es la operación de tomar la parte entera (por ejemplo $[6.789]=6$ ). El problema es expresar $d$ es decir, resolver esta igualdad para $d$ y obtener una solución en forma de $f(a,b,w,h,n)\leq d\leq F(a,b,w,h,n)$ o alguna forma simular que permita determinar el rango de valores de $d$ por valores dados de $a,b,w,h,n$ en tiempo constante, algorítmicamente hablando.
Sin duda, si no fuera por estos corchetes, el problema sería pan comido: $$ n = \frac{w}{2d+a}\cdot \frac{h}{2d+b} = \frac{wh}{(2d+a)(2d+b)}=\frac{wh}{4d^2+2d(a+b)+ab} $$ $$ 4d^2+2d(a+b)+ab-\frac{wh}{n} = 0 $$ $$ d = -\frac{1}{4}(a+b)\pm\frac{1}{4}\sqrt{(a+b)^2-4ab+\frac{4hw}{n}} $$ Pero desgraciadamente $[x][y]\neq [xy]$ . ¿Hay alguna manera de tratar la operación con enteros?
P.D. En el problema original bastaría con encontrar el mayor $d$ .
Siguiendo la sugerencia de la respuesta de David Kleiman, tengamos $\left[\frac{w}{2d+a}\right] = \frac{w}{2d+a} - r_1$ y $\left[\frac{h}{2d+b}\right] = \frac{h}{2d+b} - r_2$ , donde $r_i\in [0, 1)$ . Además, deja que $q = 2d$ para mayor comodidad. Ahora la igualdad toma forma: $$ n = \left(\frac{w}{q+a} - r_1\right)\cdot \left(\frac{h}{q+b} - r_2\right) $$ Ahora vamos a bastardear esta hermosa fórmula a lo grande eliminando paréntesis, liquidando fracciones y reuniendo coeficientes de las potencias de $q$ :
$$ q^2(n-r_1r_2)+q((n-r_1r_2)(a+b)+r_1h+r_2w)+abn-wh+r_1ha+r_2wb-r_1r_2ab=0 $$
Parecía conveniente introducir denotaciones $m=n-r_1r_2$ y $c=a+b$ Así que..:
$$ q^2m+q(mc+r_1h+r_2w)+abn-wh+r_1ha+r_2wb-r_1r_2ab=0 $$
Resolviendo la ecuación cuádrica para $q$ y eligiendo el signo positivo obtenemos: $$ q = \frac{-(mc+r_1h+r_2w)+\sqrt{D}}{2m}, $$ donde $$ D = (mc+r_1h+r_2w)^2-4m(abn-wh+r_1ha+r_2wb-r_1r_2ab). $$ Juntando todo esto tenemos: $$ q = \frac{-((n-r_1r_2)(a+b)+r_1h+r_2w)}{2(n-r_1r_2)}+\frac{\sqrt{((n-r_1r_2)(a+b)+r_1h+r_2w)^2-4(n-r_1r_2)(abn-wh+r_1ha+r_2wb-r_1r_2ab)}}{2(n-r_1r_2)} $$ Entonces... ¿cómo maximizarlo?
