¿Cómo encontrar las dos integrales siguientes? $$\int_{0}^{1}{\sqrt{{{x}^{3}}-{{x}^{4}}}dx}$$ y $$\int_{0}^{1}{x\sqrt{{{x}^{3}}-{{x}^{4}}}dx}$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
$$I:=\int_0^1 x\sqrt {x^3-x^4}\,dx=\int_0^1 x^2\sqrt{x-x^2}\,dx=\int_0^1x^2\sqrt{\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-x\right)^2}\,dx=$$
$$=\frac{1}{2}\int_0^1x^2\sqrt{1-\left(1-2x\right)^2}\,dx $$
Sustituir ahora
$$\sin u=1-2x\Longrightarrow \cos u\,du=-2\,dx\,,\,x=0\Longrightarrow u=\frac{\pi}{2}\;\;,\;x=1\Longrightarrow u=\frac{3\pi}{2}\,\,,\,\text{thus:}$$
$$I=-\frac{1}{4}\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\left(\frac{1-\sin u}{2}\right)^2\sqrt{1-\sin^2u}\cos u\,du=$$
$$-\frac{1}{16}\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\left(\cos^2u-2\sin u\cos^2u+\cos^2u\sin^2u\right)du=\ldots\,\,etc.$$
Oli
Puntos
89
Una forma semimecánica pero desagradable de atacar a ambos es llevar un $x$ "fuera". Acabamos teniendo que integrar $x\sqrt{x-x^2}$ y $x^2\sqrt{x-x^2}$ .
Tenga en cuenta que $x-x^2=\frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2})^2$ . Esto puede sugerir una sustitución. Lo mejor sería $x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}u$ . Después de las sustituciones, terminamos con integrales de forma familiar.
