Anillo de polinomios como suma directa de módulos

Question

Soy consciente de que este tema se ha publicado anteriormente. Sin embargo, no quiero demostrar nada. Sólo quiero entender, de forma algo intuitiva, por qué $R[x]$ como módulo sobre $R$ viene dada por $$R[x] =\bigoplus_{i=1}^{\infty} R?$$

Answer 1

¿Qué es un elemento de $R[x]$ ? Es una suma finita que se parece a esto: $$a_0+a_1x + \cdots + a_n x^n,$$ donde el $a_i \in R$ . Si nos olvidamos de la variable $x$ y observe que lo único que realmente importa en esta descripción son los coeficientes $a_i$ y el orden en que aparecen, nos damos cuenta de que esto corresponde de manera biyectiva a una tupla ordenada (con un número finito de elementos no nulos) $$(a_0,a_1,\ldots, a_n,0,0,\ldots) \in \bigoplus_{i \in \mathbb{N}} R.$$

Como esta correspondencia preserva las operaciones del módulo, es un isomorfismo.