La pregunta es: Que $f (x) = \frac{e^{-x}}{2}-x$ . Encuentre, con pruebas, algún intervalo I para el que se garantice la convergencia del método de iteración de punto fijo si la conjetura inicial $x_0$ está en I.
Por el Teorema del Punto Fijo, necesitamos encontrar un intervalo donde $|f'(x)|<1$ pero la función $|f(x)|$ en la pregunta nunca es inferior a $1$ Entonces, ¿qué otro método se puede utilizar para responder a la pregunta o no existe tal intereval?
Como la gente ha señalado, para encontrar numéricamente el número $x$ resolver $\frac{e^{-x}}{2} - x = 0.$ Lo primero es escribirlo como algo igual $x,$ que es sólo $\frac{e^{-x}}{2} = x .$ Entonces, vas a iterar $$ g(x) = \frac{e^{-x}}{2} $$ Y, por supuesto, $|g'(x)| < 1$ en un intervalo grande
He aquí un ejemplo de iteración, empezando por $x=0$
Quizá valga la pena subrayar que cada uno de los signos de igualdad que aparecen a continuación significa "debe ser sustituido por"
? x=0
%6 = 0
? x = exp( -x) / 2
%7 = 0.5000000000000000000000000000
? x = exp( -x) / 2
%8 = 0.3032653298563167118018997675
? x = exp( -x) / 2
%9 = 0.3692015749873654911343188241
? x = exp( -x) / 2
%10 = 0.3456430252140760192530275011
? x = exp( -x) / 2
%11 = 0.3538825481550003611247199733
? x = exp( -x) / 2
%12 = 0.3509787043533093096593776714
? x = exp( -x) / 2
%13 = 0.3519993729022750369484926496
? x = exp( -x) / 2
%14 = 0.3516402815009218578123347587
? x = exp( -x) / 2
%15 = 0.3517665751765076289389374291
? x = exp( -x) / 2
%16 = 0.3517221520880169785227126740
? x = exp( -x) / 2
%17 = 0.3517377770193545907065447750
? x = exp( -x) / 2
%18 = 0.3517322811836759583191602793
? x = exp( -x) / 2
%19 = 0.3517342142518081218640400935
? x = exp( -x) / 2
%20 = 0.3517335343262647315210185872
? x = exp( -x) / 2
%21 = 0.3517337734789604899165309460
? x = exp( -x) / 2
%22 = 0.3517336893608904316822977634
? x = exp( -x) / 2
%23 = 0.3517337189480507995902729222
? x = exp( -x) / 2
%24 = 0.3517337085412490042274794707
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La misma pregunta que ayer... la cosa cambia si, como parece probable, el problema es resolver numéricamente $f(x) = 0.$ Si es así, la función a iterar es otra cosa, no $f$ sí mismo. ¿Tiene alguna fuente para esto, tal vez una página en un libro o sitio web? En algún lugar antes de esta pregunta, identificará qué es el método y para qué se utiliza, con ejemplos.
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Ya veo. Ayer obtuviste una respuesta bastante buena.
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Sé cómo hacer la iteración de punto fijo. La pregunta que me hago es cómo encontrar un intervalo en el que se garantice la convergencia a un punto fijo, lo que requiere el teorema del punto fijo. Pero, el teorema del punto fijo no funcionará en este caso ya que el valor absoluto de la derivada de la función nunca es menor que 1 que es un requisito del teorema.
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Mathematica me da $$ \texttt{Solve[E^(-x)/2 == x, x]} = W\left(\frac{1}{2}\right), $$ donde $W$ es la función W de Lambert.