por qué no podemos decir raíz cuadrada de $-1$ como $-i$

Question

Cuando $i^2=-1$ por qué no podemos escribir $i=\pm \sqrt{-1}$ por eso no podemos decir $$\sqrt{-1}=-i$$

Answer 1

Podemos. Simplemente decimos $z^2+1=0$ tiene dos soluciones, y al principio no podemos distinguirlas. Etiquetamos una de ellas $i$ A partir de ese momento es $i$ y el otro es $-i$ . También podríamos haber escogido la otra raíz, pero no habríamos podido distinguirla hasta que etiquetáramos una de ellas. Lo que viaja entre las dos posibilidades es la operación compleja conjugada.

Elegir $i$ fija una determinada orientación canónica en el plano complejo. El conjugado complejo pasa entonces a la otra orientación. La orientación es la elección del sentido de giro. Multiplicando por $i$ gira hacia la izquierda y $-i$ gira hacia la derecha. Aunque, por supuesto, si hubiéramos elegido la otra raíz, seguiríamos dibujándola como $(0,1)$ en el $\mathbb R^2$ plano y luego parece que nada ha cambiado y que sigue girando aparentemente hacia la izquierda, aunque también hemos volteado el $\mathbb R^2$ para hacerlo.

En el análisis complejo, tendemos a escribir toda función holomorfa (analítica) como una función de $z$ mientras que otra función aleatoria es una función de ambos $z$ y $\bar{z}$ . Por ejemplo, un polinomio arbitrario de la parte real e imaginaria de $z$ puede escribirse como un polinomio en $z$ y $\bar{z}$ . Es holomorfa, si no depende de $\bar{z}$ . Por otro lado, si sólo depende de $\bar{z}$ pero no en $z$ es lo que se denomina antiholomorfo. Ahora es mejor que todo sea simétrico. Cualquier resultado que puedas demostrar sobre las funciones holomorfas debe ser cierto para las funciones antiholomorfas (con las barras metidas en el teorema en los lugares correctos). Eso es porque las funciones antiholomorfas serían funciones holomorfas si intercambiamos el papel de $i$ y $-i$ .

Answer 2

Podríamos tener - tomando $i = \sqrt{-1}$ siempre fue sólo una convención. Por sí sola, $i$ no significaba nada para empezar, así que cuando la gente empezó a considerar los números imaginarios eran libres de definirlo como cualquier solución de la ecuación $i^2 = -1$ . Pero una vez tomada esa decisión, no podemos volver a cambiar a menos que volvamos a cambiar la definición.

La cosa es que " $\sqrt{-1}$ " no tiene una existencia independiente de la misma manera que, por ejemplo, $\sqrt{9}$ lo hace. $\sqrt{9}$ tiene un significado muy definido: aquel número que es mayor que cero y que, elevado al cuadrado, da como resultado $9$ . Si intentamos la misma definición para $\sqrt{-1}$ obtenemos un galimatías: no hay ningún número que sea mayor que cero y que, elevado al cuadrado, dé como resultado $-1$ . Así que si queremos hablar de $\sqrt{-1}$ Tenemos que introducir un nuevo número para que esto tenga sentido. Podríamos introducir el número "correcto", el que se supone que es $\sqrt{-1}$ ; eso es lo que los matemáticos hicieron históricamente, y lo llamaron $i$ . Otra opción habría sido definir $\sqrt{-1}$ oblicuamente - podríamos decir, por ejemplo, que $\sqrt{-1}$ es aquel número que es un múltiplo \N negativo de $i$ y tiene cuadrado $-1$ en cuyo caso tenemos $\sqrt{-1}$ se define como $-i$ . Podríamos decir que $i$ no es $\sqrt{-1}$ en absoluto, sino que $2i$ es. Todo era una cuestión de definición.

Pero la cuestión es que, una vez hecha la definición, hay que utilizarla de forma coherente. Podríamos haber definido $\sqrt{-1}$ para ser $i$ o $-i$ o $2i$ - pero no podemos usar dos de ellos a la vez. Tenemos que elegir uno, y el que elegimos fue $i$ .

Answer 3

A efectos del análisis tradicional, no sé si realmente importa la raíz que se defina $i$ a ser. Las propiedades de esa cantidad son todas iguales independientemente de que $i=-\sqrt{-1}$ o $i=\sqrt{-1}$ . Por ejemplo

$i^{0+4k}=1 \quad k=0,1,2,...$

$i^{1+4k}=i \quad k=0,1,2,...$

$i^{2+4k}=-1 \quad k=0,1,2,...$

$i^{3+4k}=-i \quad k=0,1,2,...$

$\exp(i\theta) = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$

Los cuaterniones dan un ejemplo de TRES cantidades $i^2=j^2=k^2=-1$ . En las álgebras de Clifford hay en realidad muchas cantidades generales de este tipo que cuando se elevan al cuadrado dan -1.