Demostrar que $X$ es conexo si y sólo si los únicos subconjuntos de $X$ que son clopen son $X$ y $\varnothing$

Question

Estoy tratando de demostrar que $X$ es conexo si y sólo si los únicos subconjuntos de $X$ que son clopen son $X$ y $\emptyset$ .

Sé que $X$ se separa (o no se conecta) si $A \neq \emptyset$ y $B \neq \emptyset$ y $\overline{A} \cap B = A \cap \overline{B} = \emptyset$ donde $\overline{A}, \overline{B}$ son los cierres de y $A$ y $B$ y si $X=A \cup B$ . Sé que un conjunto se cerrará si no se separa.

Sin embargo, estoy muy atascado con la prueba y no sé ni por dónde empezar. ¡La ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

En primer lugar, su definición es falsa. $\mathbb{R}$ está conectado, pero $A=[0,1], B=[2,3]$ satisface la condición que tiene. También necesita $A\cup B=X$ .

Diga $A\neq\emptyset$ , $A\neq X$ y $A$ está cerrado. Ahora mira $A$ y $A^C$ (complemento de $A$ o $X-A$ ).

Supongamos ahora que $X$ se separa. Utilizando su definición, junto con $A\cup B=X$ debería ser capaz de encontrar la respuesta.