Prueba constructiva de los elementos algebraicos que forman un subcampo

Question

Dejemos que $F \leqslant E$ sea una extensión de campo.

Si $a, b \in E$ son algebraicas sobre $F$ entonces $a+b$ y $ab$ también son algebraicas. Hay una breve prueba de esto usando la extensión $E(a,b)$ :

$[E(a,b):E]$ es finito por lo que todos los elementos son algebraicos, de lo contrario las potencias no algebraicas formarían un conjunto infinito linealmente independiente. En particular $a+b \in E(a,b)$ y $ab \in E(a,b)$ son algebraicas.

Pero esta prueba no construye el polinomio real. ¿Existe una prueba constructiva o alguna razón para que dicha prueba no exista?

Answer 1

Esta pregunta se repite en los foros, por ejemplo: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=61&t=202382 y www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=61&t=180471 .

Este hecho es un caso particular de un hecho más general, que afirma que si $A$ es un subring de un anillo conmutativo $B$ y si $a$ y $b$ son dos elementos de $B$ integral sobre $A$ entonces $a+b$ y $ab$ son integrales sobre $A$ También. Este es un resultado estándar en el álgebra conmutativa, y normalmente se demuestra de forma constructiva: por ejemplo, el Corolario 2.1.11 en Swanson-Huneke cede.

PS. Esto puede ser claro para usted, pero no hay posibilidad de obtener el mínimo polinomio de $a+b$ o $ab$ por cualquier algoritmo. Lo que se puede obtener son polinomios, ambos de grado $\left[E\left(a\right):E\right]\cdot\left[E\left(b\right):E\right]$ que tienen $a+b$ resp. $ab$ como raíces. Estas pueden obtenerse como resultantes de forma similar a la de Felipe, o ejecutando cualquiera de las pruebas constructivas mencionadas anteriormente como programas.

Answer 2

A ver si lo recuerdo bien. Dejemos que $f$ sea el polinomio mínimo de $a$ y $g$ el polinomio mínimo de $b$ en $F$ . Consideremos el polinomio $h(x)$ obtenida como la resultante con respecto a la variable $y$ de los polinomios $f((x+y)/2),g((x-y)/2)$ . Una raíz $c$ de $h$ es, por tanto, un elemento del cierre algebraico de $F$ para lo cual $f((c+y)/2),g((c-y)/2)$ tienen una raíz común $d$ Así que (hasta los conjugados) $(c+d)/2=a,(c-d)/2=b$ Así que $c=a+b$ . La afirmación correcta es probablemente que $h$ tiene $a+b$ como una de sus raíces, pero puede no ser irreductible.

Existe un truco similar para $ab$ que no recuerdo. Además, lo que yo hice no funciona en la característica dos pero sí una variante, pero tampoco lo recuerdo.

Answer 3

Hay una prueba constructiva diferente (a cierto nivel) muy bonita:

Necesitamos:

Lema 1 Los valores propios de $A\otimes B$ son los productos de los valores propios de $A$ y $B.$

y

Lema 2 Los valores propios de $A \otimes I + I \otimes B$ son las sumas de los valores propios de $A$ y $B.$

Las pruebas de esto se dejan al lector interesado. En cualquier caso, aplique ahora los lemas 1 y 2 a las matrices compañeras de sus números algebraicos favoritos.