Demostrar que hay infinitos $k$ -subespacios dimensionales de un espacio vectorial finito

Question

Mayo $V$ ser un $n$ Vektorspace dimensional tal que $\dim (V) =: n \ge 2$ .

Demostraremos que hay infinitas $k$ -subespacios dimensionales de $V$ , $\forall k \in \{1, 2, ..., n-1\}$ .

Así que primero pensé en usar la inducción, el paso base no es tan difícil, para $n=2$ tomamos dos vectores, digamos $a$ y $b$ y definir infinitos subespacios unidimensionales como span $\{a+jb\}$ para $j \in \mathbb N$ .

Es fácil ver que esos espacios vectoriales no son todos iguales, pero me di cuenta de que la inducción no es el camino a seguir, ya que creo que $n$ es fijo.

De todos modos, luego pensé en usar la finitud de la base para $V$ para intentar construir esos subespacios (usando vectores de la base). No lo he conseguido, así que sólo pido una pista o algún consejo útil por donde empezar con esto.

Answer 1

HINT : ¿Cuántas líneas hay en $\Bbb R^2$ de paso $\{(0,0)\}$ .

¿Cuántos aviones hay en $\Bbb R^3$ que contiene $\{(0,0,0)\}$ .

Answer 2

Subespacios: $(a_1\times a_2\times...\times a_{k-1}\times(a_k+ma_{k+1}))$ , $m\in N$

Answer 3

De hecho, la inducción funciona, aunque hay otros enfoques más directos. Voy a suponer que $V$ es un espacio vectorial sobre algún campo infinito, de lo contrario su resultado es falso.

Si $n=2$ entonces $k=1$ Considera entonces todas las rectas que pasan por el origen; es obvio y no hace falta demostrar que son infinitamente numerosas.

Supongamos que la afirmación es cierta para $n$ y considerar $V$ con $\dim V = n+1$ .

1. El caso $k < n$ si sólo hubiera un número finito de subespacios de dimensión $k$ , entonces dejemos que $W \subset V$ sea un subespacio de $\dim W = n$ ; por la hipótesis de la inducción, $W$ tiene infinitos subespacios de dimensión $k$ pero también son subespacios de $V$ que se suponía que eran finitos, por lo que hemos obtenido una contradicción. Esta es la parte en la que usamos la inducción.

2. El caso $k=n$ Si eliges una base, entonces cada $v = (v_1, \dots, v_n)$ dará lugar a la forma lineal $f_v (u) = u_1 v_1 + \dots + u_n v_n$ . Observe que $\dim (\ker f_v) = n$ y que $\ker f_v = \ker f_w$ si y sólo si existe $\lambda$ tal que $v = \lambda w$ . Pero hay infinitos vectores no proporcionales en $V$ (están en correspondencia biyectiva con el espacio proyectivo de $V$ ), por lo que existen infinitas formas lineales diferentes, y por tanto infinitos subespacios de dimensión $n$ .