¿Confundido con la localización de variedades afines y esquemas afines?

Question

Tengo cierta familiaridad e intuición básica con las variedades algebraicas y estoy deseando empezar con los esquemas. Estoy estudiando la sección 2.2 de Hartshorne, en particular la definición de la gavilla de anillos de $\text{spec}A$ . Para un anillo $A$ , esto se compone de funciones, \begin{equation} \label{regulartionfunction} s: U \longrightarrow \bigsqcup_{\mathfrak{p} \in U}A_{p} \end{equation} que satisface ciertas condiciones locales. Intento relacionar esto con el caso de las variedades afines donde los mapas son de un conjunto abierto $U$ en el campo de la tierra, digamos $k$ . Supongamos que $A$ es algún anillo polinómico, para simplificar se empieza con $\mathbb{C}[x]$ . Los puntos de una variedad afín corresponden a los ideales máximos $\mathfrak{m}$ que se parecen a $\left< x-a \right>$ . Mi razonamiento (que creo que tiene algún tipo de problema), fue el siguiente:

Los ideales primos de $\mathbb{C}[x]_{\mathfrak{m}}$ están en correspondencia uno a uno con los ideales primos de $\mathbb{C}[x]$ contenida en $\mathfrak{m}$ . Dado que los ideales primos de $\mathbb{C}[x]$ son precisamente los máximos, entonces $\mathbb{C}[x]_{\mathfrak{m}}$ tiene precisamente un ideal máximo, que es $(0)$ por lo que se convierte en un campo. Si esto es correcto, entonces se ajusta a la definición anterior para los esquemas en el caso de que $A = \mathbb{C}[x]$ resultaría en $s$ siendo un mapa de $U$ en un campo.

Sin embargo, este razonamiento parece romperse para los anillos polinómicos en más de una variable. Además, ni siquiera estoy convencido de que mi razonamiento anterior sea correcto, ya que sólo parecía utilizar el hecho de que $\mathbb{C}[x]$ era un PID, y no estoy seguro de que todas las localizaciones de los PID sean campos.

Así que si alguien puede arrojar algo de luz sobre cómo el mapa $s$ reduce a las funciones regulares con las que estamos familiarizados para las variedades afines, y también asegura mi razonamiento sobre las localizaciones de los anillos de polinomios por ideales máximos, estaría muy agradecido.

Gracias

Luke

Answer 1

Su descripción de la estructura ideal de $\mathbb{C}[x]_\mathfrak{m}$ es incorrecto. $\mathbb{C}[x]_\mathfrak{m}$ es un anillo local que no es un campo - contiene el ideal $\mathfrak{m}$ que es diferente del ideal cero y no de todo el anillo. (Ejercicio: verificar esto con $\mathbb{C}[x]_{(x)}$ donde cada elemento no divisible por $x$ es una unidad- demuestre que $1\notin(x)$ y $x\notin(0)$ .)

La forma de recuperar la noción de funciones con la que estás familiarizado (siendo el objetivo un campo) es evaluar nuestra función en anillos locales tensando con el campo de residuos en el punto que te interesa. Esto da más información porque los anillos locales son más grandes y puedes rastrear más cosas usándolos.