¿Es la solución a $A-O(A)=\tilde \Sigma$ ¿único?

Question

Dejemos que $\tilde \Sigma=\text{diag}(\tilde \sigma_i)$ sea una matriz diagonal, con $\tilde \sigma_i>0$ . ( $1 \le i \le n$ ).

Supongamos que $A$ es un real invertible $n \times n$ matriz con determinante positivo, que satisface $A-O(A)=\tilde \Sigma$ , donde $O(A)=A(\sqrt{A^TA})^{-1}$ es el factor polar ortogonal de $A$ es decir $A=OP$ para alguna matriz ortogonal especial $O$ y la matriz simétrica positiva-definida $P$ .

¿Es cierto que $A=\text{diag}(\tilde \sigma_i+1)$ ? (En ese caso $O(A)=\text{Id}$ ).

Escribir $A=U\Sigma V^T$ (SVD), la ecuación $A-O(A)=\tilde \Sigma$ se convierte en

$$ U(\Sigma -\text{Id}) V^T=\tilde \Sigma.$$

Tomando la transposición de la ecuación, también tenemos

$$ V(\Sigma -\text{Id}) U^T=\tilde \Sigma.$$

Combinando estas dos ecuaciones, tenemos entonces

$$ U(\Sigma -\text{Id})^2 U^T=\tilde \Sigma^2.$$

Considerando los valores propios de ambos lados, deducimos que $(\sigma_i-1)^2=\tilde \sigma_{\tau(i)}^2$ , donde $\tau \in S_n$ es una permutación. Sea $v_i$ sea el $i$ -en la columna de $U^T$ . Si todos los $\tilde \sigma_i$ son distintos, entonces $(\Sigma -\text{Id})^2 v_i=\tilde \sigma_{\tau(i)}^2 v_i$ , lo que implica $v_i \in \text{span}\{e_{\tau(i)}\}$ . Dado que las columnas de $U^T$ son ortonormales, tenemos $v_i=\pm e_{\alpha(i)}$ es decir $U^T$ debe ser una matriz de permutación con signo.

El mismo razonamiento puede aplicarse a $V$ . Así, $A=U\Sigma V^T$ debe ser diagonal. (¿Es esto realmente cierto? Ahora no estoy tan seguro).

Answer 1

Un contraejemplo es $A=-\tfrac12 I$ y $\tilde\Sigma=\tfrac12 I$ para incluso $n.$ Aquí $O(A)=-I.$

$A$ no es necesariamente diagonal. Para un ejemplo debería funcionar tomar $n=4,$ $\tilde\Sigma=\tfrac12I,$ y $A=UDU^T$ donde $D=\operatorname{diag}(\tfrac32,\tfrac32,-\tfrac12,-\tfrac12)$ y $U$ es una rotación de cuarenta y cinco grados en el plano y-z.

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Es cierto que $O^2=I$ y $O$ se desplaza con $\tilde\Sigma.$ La situación podría describirse así: tras un cambio de base ortogonal, $\tilde\Sigma$ sigue siendo diagonal y $A$ es diagonal con $A_{ii}=\tilde\Sigma_{ii}\pm 1$ (y el $-1$ caso sólo puede ocurrir cuando $\tilde\Sigma_{ii}<1.$ )

Escribe $A=OP$ con $O\in SO_n$ y $P$ simétrica definida positiva.

Hay un $V\in SO_n$ tal que la matriz $P':=V^TPV$ es diagonal. Escribe $S'$ para el resultado de sustituir las entradas diagonales de $P'-I$ por su signo $\pm 1$ (nota $P-I$ es no singular, por lo que está bien definido) y escribir $|P'-I|$ para el resultado de sustituir las entradas diagonales de $P'-I$ por su valor absoluto. Definir $S=VS'V^T$ y $|P-I|=V|P'-I|V^T.$ Tenga en cuenta que $P-I$ y $S$ y $|P-I|$ todos conmutan - están simultáneamente diagonalizados por conjugación por $V$ a la derecha. Y $S|P-I|=P-I.$

$S$ es simétrica y satisface $S^2=I$ por lo que es realmente ortogonal. Aplicando la unicidad de la descomposición polar ortogonal a $OS|P-I|=\tilde\Sigma$ da $OS=I,$ que da $O=S.$

Answer 2

Cabe señalar que aunque $A$ es diagonal, entonces la solución no es única:

De hecho, toma $A_1=\text{diag}(3/2,5/4,2)$ , $A_2=\text{diag}(-1/2,-3/4,2)$ que corresponden ambos a $\tilde \Sigma=\text{diag}(1/2,1/4,1)$ .

En efecto, nótese que para la matriz diagonal $D=\text{diag}(d_i)$ en $GL^+$ , $O(D)=\text{diag}(\text{sgn} (d_i))$ .

Además, si $\Sigma=\lambda Id$ entonces para cada solución $A$ y toda matriz ortogonal $U$ , $U^TAU$ también es una solución. Esto se deduce inmediatamente del hecho de que $O(AU)=O(A)U,O(UA)=UO(A)$ . (Estas propiedades se deben a que $O(A)$ es simultáneamente el factor polar ortogonal izquierdo y derecho de $A$ ).

Así, si $A-O(A)=\tilde \Sigma=\lambda Id$ entonces

$$U^TAU-O(U^TAU)=U^TAU-U^TO(A)U=U^T(A-O(A))U=U^T\tilde \Sigma U=\tilde \Sigma,$$

desde $\Sigma$ conmuta con todas las matrices.