Estadística suficiente conjunta para Pareto

Question

Tenemos una muestra extraída de una distribución de pareto con pdf: $$f_X(x) = ab^ax^{-(a+1)} , x>b$$ Queremos obtener conjuntamente estadísticas suficientes para $a$ y $b$ . Así que encuentro la función de probabilidad de una muestra de tamaño $n$ : $$L(a,b)=a^nb^{an}(\prod_{i=1}^nX_i)^{-(a+1)}$$

Así que no es sólo el $\prod_{i=1}^nX_i$ parte una estadística suficiente por sí misma? ¿Por qué necesito varias estadísticas en este punto?

Answer 1

Tienes la función de probabilidad mal. La PDF, escrita explícitamente, es

$$ f_X(x)=ab^ax^{-(a+1)}[x>b] $$

(donde $[I]$ es la función indicadora de $I$ ), por lo que la función de probabilidad es

\begin{eqnarray} L(a,b) &=& a^nb^{an}\left(\prod_{i=1}^nX_i^{-(a+1)}\left[X_i\gt b\right]\right) \\ &=& a^nb^{an}\left(\prod_{i=1}^nX_i\right)^{-(a+1)}\left[X_{(1)}\gt b\right]\;, \end{eqnarray}

donde $X_{(1)}$ es el primera orden estadística de la $X_i$ . Por lo tanto, las estadísticas suficientes para $a$ y $b$ son $\prod_{i=1}^nX_i$ y $X_{(1)}$ .

Answer 2

\begin{align} & f(x_1,\ldots,x_n) \\[8pt] = {} & \begin{cases} a^nb^{an} \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{-(a+1)} & \text{if all of }x_1,\ldots,x_n \text{ are} \ge b, \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \\[10pt] = {} & \begin{cases} a^nb^{an} \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{-(a+1)} & \text{if } \min\{x_1,\ldots,x_n\} \ge b, \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases} \end{align}

Esto depende de $x_1,\ldots,x_n$ a través de la pareja $\big( x_1\cdots x_n, \min\{x_1,\ldots,x_n\}\big).$