Convergencia débil de las funciones de distribución acumulativa

Question

En teoría de la probabilidad en la definición de convergencia débil decimos que una secuencia de funciones de distribución acumulativa $F_n(x)$ convergen débilmente a $F(x)$ ` ${\displaystyle F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)}$ si la convergencia se produce para cada punto de continuidad de la función $F(x)$ .

Me pregunto si es necesario para $F(x)$ sea una función de distribución acumulativa o no?

Gracias de antemano

Answer 1

La convergencia puntual de $\left(F_n\right)_{n\geqslant 1}$ no es suficiente para garantizar que el límite sea una función de distribución acumulativa. Por ejemplo, dejemos que $F_n$ se define por $F_n\left(t\right)=0$ si $t\lt n$ y $1$ de lo contrario. Entonces $F_n$ es la función de distribución acumulativa de a la distribución de probabilidad cuyo valor es $n$ y $F_n(t)\to 0$ para todo número real.

Por lo tanto, la definición no correspondería a lo que pretendemos con la convergencia débil.