Acción de grupo en un espacio vectorial

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo que actúa sobre espacios vectoriales (complejos) $V, W$ y que $G$ actúan trivialmente en el espacio vectorial $U$ .

Dejemos que $Hom^G(V, W)$ denotan las transformaciones lineales $T:V \to W$ que respetan la acción del grupo, es decir, $g \cdot T(v) = T(g \cdot v)$ para todos $v \in V$ .

$W \otimes U$ tiene un natural $G$ -acción dada por $g \cdot (w \otimes u) = gw \otimes gu = gw \otimes u$ .

¿Cómo puedo ver $Hom^G(V, W \otimes U) \cong Hom^G(V, W) \otimes U$ ?

Existe un mapa natural hacia atrás dado por el envío de $(T: V \to W) \otimes u$ al mapa $v \mapsto T(v) \otimes u$ . Este segundo mapa respeta el $G$ -acción porque $T$ respeta la $G$ -acción, y $U$ tiene trivialidad $G$ -acciones.

Answer 1

No creo que esto sea cierto en toda su generalidad; se necesita $U$ sea de dimensión finita.

En el caso de que $G$ es el grupo trivial, esto equivale a $$\text{Hom}(V,W\otimes U)\cong\text{Hom}(V,W)\otimes U.$$ Especializándose aún más para $W=\Bbb C$ (unidimensional) obtenemos $$\text{Hom}(V,U)\cong\text{Hom}(V,\Bbb C)\otimes U.\tag{*}$$ El mapa natural de la derecha de (*) a la izquierda tiene su imagen los homomorfismos de $V$ a $U$ con imagen de dimensión finita, por lo que no es suryectiva.

Pero si $U$ es de dimensión finita se puede escribir $U$ como suma directa finita de módulos unidimensionales triviales. Como ambos funtores $U\mapsto \text{Hom}^G(V,W\otimes U)$ y $U\mapsto \text{Hom}^G(V,W)\otimes U$ preservan las sumas directas finitas, reducimos al caso $U=\Bbb C$ con trivialidad $G$ -en cuyo caso el resultado es inmediato.