¿Son *todos* los sistemas planos/2D integrables?

Question

Consideremos el siguiente sistema genérico planar/2D:

$$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = A(x,y)\\ \\ \frac{dy}{dt} = B(x,y), \end{cases}$$

donde $A,B$ son dos funciones. Leer Mecánica clásica por Joseph L. McCauley He encontrado las siguientes declaraciones:

Cada flujo bidimensional, $$dx/dt = A(x,y), \qquad dy/dt = B(x,y),$$ ya sea disipativo o conservador, tiene una ley de conservación,

y, si reescribimos las ecuaciones del sistema como $dt=dx/A=dy/B$ ,

toda forma diferencial $B(x,y)dx-A(x,y)dy=0$ en dos variables o bien es cerrado o bien tiene un factor integrador $M(x,y)$ que lo hace integrable.

Así que es realmente cada sistema planar integrable, o me he perdido algún detalle?

Answer 1

Una globalidad integrabilidad La afirmación para sistemas generales en 2D no es válida, pero sí lo es la afirmación de integrabilidad local. Reformulemos la pregunta OP de la siguiente manera.

Supongamos que nos dan un problema bidimensional de primer orden $$ \dot{x}~=~f(x,y), \qquad \dot{y}~=~g(x,y), \tag{1}$$ donde $f$ y $g$ son dos funciones suaves dadas. ¿Es la ec. (1) un sistema hamiltoniano $$ \dot{x}~=~\{x,H\}, \qquad \dot{y}~=~\{y,H\}, \tag{2}$$ con una estructura simpléctica $\{\cdot,\cdot\}$ y el Hamiltoniano $H(x,y)$ ?

La respuesta es, tal vez, sorprendente: _Sí, siempre, al menos a nivel local. El Hamiltoniano $H$ es lo que se busca integral de movimiento/primera integral ._

1. Prueba: En dos dimensiones, un Soporte de Poisson está completamente especificado por las relaciones fundamentales del corchete de Poisson $$ \{x,y\} ~=~B(x,y)~=~-\{y,x\}, \qquad \{x,x\}~=~0~=~\{y,y\}, \tag{3} $$ donde $B$ es alguna función que no toma el valor cero. [Ejercicio: Comprueba que las ecs. (3) satisfacen automáticamente la Identidad de Jacobi .] Las ecuaciones de Hamilton. (2) se convierten en $$ \dot{x}~=~B\frac{\partial H}{\partial y}, \qquad \dot{y}~=~-B\frac{\partial H}{\partial x}.\tag{4} $$ A continuación, consideremos la forma única $$ \eta ~:=~ f{\rm d}y -g{\rm d}x, \tag{5}$$ que posiblemente sea un diferencial inexacto . Sin embargo, se sabe por la teoría de las EDP, que existe localmente un factor integrador $\frac{1}{B}$ para que la forma única $$ \frac{1}{B}\eta~=~{\rm d}H \tag{6} $$ es localmente un diferencial exacto dada por alguna función $H$ . Es sencillo comprobar que se puede utilizar $B$ como la estructura de Poisson (3) y $H$ como el Hamiltoniano. $\Box$

2. Observación. La existencia de un par de variables canónicas $q(x,y)$ y $p(x,y)$ con $\{q,p\}=1$ a su vez, están garantizados localmente por Teorema de Darboux .

3. Ejemplo: Si $f$ y $g$ son funciones homogéneas del mismo orden, y si se elige $$ B~=~ y f - x g, \tag{7}$$ entonces se puede comprobar que la forma única $\frac{1}{B}\eta$ está cerrado. Un Hamiltoniano $H$ se puede encontrar mediante la integración del contorno de la forma única (6).

4. _Ejemplo: 1D oscilador amortiguado :_ Ecuaciones de movimiento: $$ \dot{v}~=~-2bv-\omega^2x, \qquad \dot{x}~=~v. \tag{8}$$ Soporte de Poisson: $$ B(x,v) ~=~ v^2 + 2 b v x + \omega^2 x^2. \tag{9}$$ Hamiltoniano: $$\begin{align} H(x,v)~=~&\frac{1}{2}\ln|B(x,v)|\cr ~+~&\left\{\begin{array}{ccr} \frac{b}{\sqrt{\omega^2-b^2}}\arctan\frac{\sqrt{\omega^2-b^2} x}{v + b x}&\text{if underdamped}& |b|~<~ \omega,\cr\cr \frac{bx}{v + b x}&\text{if critically damped}& |b|~=~ \omega,\cr\cr \frac{b}{\sqrt{b^2-\omega^2}}\left\{\begin{array}{c}{\rm artanh}\cr{\rm arcoth}\end{array}\right\}\frac{\sqrt{b^2-\omega^2} x}{v + b x}&\text{if overdamped}& |b|~>~ \omega.\cr \end{array} \right.\tag{10} \end{align}$$

5. Ejemplo: Math.SE q1577274 .

6. Contraejemplo. Las soluciones a las ecuaciones dif. existen en general sólo localmente. Consideremos $$f(q,p)~=~\frac{q}{q^2+p^2}\quad\text{and}\quad g(q,p)~=~\frac{p}{q^2+p^2}\tag{11}$$ en el dominio $D=\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\},$ que no se puede contraer. Es relativamente sencillo comprobar que $$\eta~=~f\mathrm{d}p-g\mathrm{d}q ~=~\frac{q\mathrm{d}p-p\mathrm{d}q}{q^2+p^2} \tag{12}$$ es un lugar cerrado $1$ -y no existe un globalmente definió el hamiltoniano $H$ en $D$ de tal manera que las ecs. (2) se cumplan. Lo mejor que se puede hacer es poner $H$ igual a una rama de un solo valor de ${\rm arg}(q+ip)$ que es no definido globalmente.

7. Contraejemplo: Dominio contráctil sin solución global: Math.SE q2710698 .