Confusión sobre las coberturas de los grupos de Lie

Question

Estoy tratando de establecer una cobertura para un grupo de mentira (SL(2,C)) a otro (SO(3,C)). Puedo encontrar un isomorfismo de las álgebras de mentira sl(2,c) a so(3,c) tomando $ \left[ {\begin{array}{cc} a & b \\ c & -a \\ \end{array} } \right] $ a $ \left[ {\begin{array}{cc} 0 & a & b\\ -a^* & 0 & c \\ -b^* & -c^* & 0 \\ \end{array} } \right] $

Sin embargo, estoy totalmente confundido en cuanto a cómo empezar a pensar en encontrar la suryección de los grupos de mentira reales. Creo que el enfoque correcto es utilizar Ad, pero no sé cómo demostrar que se asigna de SL(2,C) a SO(3,C). También estoy confundido en cuanto a cómo pensar en sl(2,C) y so(3,C) como espacios vectoriales y cómo comparar cómo SL(2,C) envía estos elementos a cómo lo hace SO(3,C). Me preguntaba si había algún consejo sobre cómo pensar en este problema y abordarlo con más rigor.

Answer 1

Al leer tu pregunta, me da la impresión de que no has interpretado correctamente la sugerencia de utilizar la acción adjunta. Lo que se quiere decir con la pista es que la representación adjoint de $SL(2,\mathbb C)$ puede interpretarse como un homomorfismo $SL(2,\mathbb C)\to GL(\mathfrak{sl}(2,\mathbb C))\cong GL(3,\mathbb C)$ . Ahora es fácil ver que existe una forma bilineal compleja no degenerada $b$ en $\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$ que es invariante bajo $Ad(A)$ para cada $A\in SL(2,\mathbb C)$ . El grupo ortogonal de esta forma bilineal es isomorfo a $SO(3,\mathbb C)$ para que pueda ver realmente $Ad$ como un homomorfismo $SL(2,\mathbb C)\to SO(3,\mathbb C)$ . Es fácil demostrar que la derivada de este homomorfismo es un isomorfismo lineal (el doble del isomorfismo que has escrito en la pregunta). Un poco de teoría de Lie muestra entonces que el homomorfismo tiene que ser un recubrimiento y es fácil ver que el núcleo tiene dos elementos.

Yo no diría que ésta es "la forma general de pensar en la cuestión", pero no estoy seguro de que exista tal "forma general". Es un teorema general que para los grupos de Lie $G$ y $H$ con álgebras de Lie $\mathfrak g$ y $\mathfrak h$ con $G$ simplemente conectado y $H$ conectados y el isomofismo $\mathfrak g\to\mathfrak h$ es la derivada de un único homomorfismo $G\to H$ que automáticamente es una cobertura. Si se quiere escribir explícitamente un isomorfismo de este tipo en general el punto de partida será mirar las imágenes exponenciales y utilizar que $\phi(exp(X))=exp(\phi'(X))$ .