Demostrando que $\lim_{n \to \infty} \int_E \cos(nx) = \lim_{n \to \infty} \int_E \sin(nx) = 0$

Question

Por lo tanto, tengo que demostrar que si $E \subset [0, 2\pi]$ es un conjunto de medida finita, entonces $\lim_{n \to \infty} \int_E \cos(nx) = \lim_{n \to \infty} \int_E \sin(nx) = 0$

Mi plan de acción original era observar lo siguiente:

$$\left|\int_E e^{inx} \,dx\right| = \left|\frac{e^{inx}}{in}\right| = \frac{1}{|n|}$$

La integral pasaría entonces a $0$ como $|n| \to \infty$ y como $\cos(nx), \sin(nx)$ son las partes real e imaginaria de $e^{inx}$ estaríamos acabados. Sin embargo, me di cuenta de que no utilicé realmente la hipótesis relativa a $E$ siendo un conjunto de medida finita, por lo que no creo que mi prueba sea correcta. Sin embargo, me gustaría recibir algún consejo sobre cómo proceder para demostrar realmente las afirmaciones anteriores.

Answer 1

$\mathbf{Hint}$ : Si está familiarizado con este resultado, utilícelo para reducir al caso que $E$ es un intervalo, que es casi inmediato.

Answer 2

Es redundante decir $E$ tiene medida finita ya que su medida no es mayor que la medida de $[0,2\pi]$ que es $2\pi$ . En cualquier caso, como la función indicadora $1_E$ es integrable por Lebesgue en $[0,2\pi]$ se puede fijar un número positivo $\epsilon$ y elegir una función suave $g$ en $[0,2\pi]$ para lo cual $\sup_{x\in [0,2\pi]} \lvert 1_E(x) - g(x)\rvert < \frac{\epsilon}{2\pi}$ . Sea $h(x) = 1_E(x) - g(x)$ y demostrar que $\int_0^{2\pi} h(x) e^{inx}\, dx$ está limitada por $\epsilon$ . Por integración por partes, demuestre que $\int_0^{2\pi} g(x)e^{inx}\, dx = O(\frac{1}{n})$ como $n\to \infty$ . Utilizando estas dos estimaciones se observa que $\int_E e^{inx}\, dx = \int_0^{2\pi} 1_E(x)e^{inx}\, dx \to 0$ como $n\to \infty$ . El resultado se desprende de tomar las partes real e imaginaria.