mejor constante en la desigualdad del cuasi triángulo para $L^p$ espacios con $0 < p \le 1$

Question

Actualmente estoy haciendo un problema que me pide probar la mejor constante $C$ (dependiendo de $p$ ) tal que la desigualdad del cuasi triángulo $||f+ g||_p \le C (||f||_p + ||g||_p)$ para $L^p $ se mantiene, donde $0< p \le 1$ es $2^{1/p -1 } $ .

Mi enfoque es que ya probé $||f+g||_p^p \le ||f||_p^p + ||g|| _p ^p$ . Por tanto, bastará con demostrar que $(||f||_p^p + ||g|| _p^p ) ^{1/p} \le 2^{1/p -1} ( ||f||_p + ||g||_p)$ . Pero no tengo ni idea de cómo proceder. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

¡Creo que lo tengo!

Por lo que he demostrado que tengo $ ||f+g||_p \le ( ||f||_p^p + ||g||_p^p) ^{1/p} $ . Entonces, como $ ||f||^p_p , ||g||^p _p \ge 0$ y $x \mapsto x^{1/p}$ es convexo cuando $ 0 < p \le 1$ tenemos por la desigualdad de Jensen $ (2 ( \frac{1}{2} ||f||^p_p + \frac{1}{2} ||g||^p_p))^{1/p} \le 2^{1/p} ( \frac{1}{2} ||f||_p + \frac{1}{2} ||g||_p ) = 2^{1/p - 1} (||f||_p + ||g||_p)$ . Por lo tanto, obtenemos $||f+g||_p \le 2^{1/p - 1} (||f||_p + ||g||_p)$ como se desee.

Para ver que esta es la mejor constante, tomamos $f = 1_{[-1,0]}$ y $g = 1_{[0,1]}$ entonces $||f+g||_p = 2^{1/p} = 2^{1/p - 1} (||f||_p + ||g||_p)$ . En realidad, dos funciones cualesquiera $f,g \in L^p$ que tienen un soporte disjunto lograrán la igualdad.