Me quedé con la siguiente afirmación. Sea $U \subset \mathbb{R^k}$ sea un subconjunto abierto y que $g : U \rightarrow \mathbb{R}^n$ ser una función suave, pero creo que la continuidad debería ser suficiente. Sea $C \subset U$ sea un subconjunto cerrado entonces la afirmación es que $g(C)$ es un conjunto de borlas. Pido disculpas si este problema ya se ha planteado antes. Gracias por sus comentarios.
Respuesta
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Primero consiga $U=\bigcup_{k=1}^{+\infty}U_k$ un agotamiento compacto de lo abierto $U.$ Entonces considere $C_k=C\cap U_k$ que es un conjunto compacto porque el conjunto cerrado en el conjunto compacto $U_k$ , y luego conseguir que $g(C)=\bigcup_{k=1}^{+\infty}g(C_k).$ Como $g(C_k)$ son imágenes continuas de conjuntos compactos por lo que son compactos y por lo que son conjuntos cerrados, se obtiene que $g(C)$ es un conjunto borel como unión contable de conjuntos cerrados que son conjuntos borel.
