Demostrar que un conjunto de vectores es linealmente independiente

Question

La pregunta es:

Si $\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}, v_{n+1}\}$ es linealmente independiente, demuestre que $ \{v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n}\}$ es linealmente independiente.

Mi intento de prueba:

Si $\{v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n}\}$ es linealmente dependiente. Entonces $ t_{1}v_{1} + t_{2}v_{2} + \cdots + t_{n}v_{n} = 0$ tiene algunas soluciones en las que $t_{i} \neq 0 \forall i$ .

Pero $\{v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n}, v_{n+1}\}$ siendo linealmente independientes implica $ t_{1}v_{1} + t_{2}v_{2} + \cdots + t_{n}v_{n} + t_{n+1}v_{n+1} = 0$ donde $t_{i} = 0$ $\forall i$ . Así que hemos derivado una contradicción.

Así que $ \{v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n}\}$ es linealmente independiente.

$\square$

No estoy seguro de haber realizado esta prueba por contradicción correctamente, así que cualquier idea sería buena. O incluso pruebas alternativas.

Answer 1

Independencia lineal de $\{v_1,\dots,v_n,v_{n+1}\}$ es no expresado por el hecho de que $t_1v_1+\dots+t_nv_n+t_{n+1}v_{n+1}=0$ cuando $t_i=0$ para todos $i$ .

La declaración

$t_1v_1+\dots+t_nv_n+t_{n+1}v_{n+1}=0$ cuando $t_i=0$ para todos $i$

es verdadera para todo conjunto (finito) de vectores.

La condición correcta es

si $t_1v_1+\dots+t_nv_n+t_{n+1}v_{n+1}=0$ entonces $t_i=0$ para todos $i$ .

Tal vez hayas expresado mal tus conocimientos, pero ese malentendido de la independencia lineal es muy común.

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Evita las contradicciones, si puedes. Para demostrar que $\{v_1,\dots,v_n\}$ es linealmente independiente, supongamos que $t_1v_1+\dots+t_nv_n=0$ . Si se establece $t_{n+1}=0$ entonces también $$ t_1v_1+\dots+t_nv_n+t_{n+1}v_{n+1}=0 $$ así que, por supuesto, $t_i=0$ para $i=1,2,\dots,n,n+1$ en particular para $i=1,2,\dots,n$ .

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Si quieres ir por contradicción, supón que $t_1v_1+\dots+t_nv_n=0$ con el $t_i$ no todo es cero. Entonces, con $t_{n+1}=0$ tenemos $$ t_1v_1+\dots+t_nv_n+t_{n+1}v_{n+1}=0, $$ una contradicción.

En realidad esto no es una prueba por contradicción: hemos demostrado que si $\{v_1,\dots,v_n\}$ es linealmente dependiente, entonces también $\{v_1,\dots,v_n,v_{n+1}\}$ es linealmente dependiente.

Answer 2

$t_1v_1+t_2v_2+\cdots+t_nv_n+0\cdot v_{n+1}\Rightarrow t_1,\ldots,t_n=0$

Esta es una versión rápida de su prueba. Además, la idea detrás de tu prueba es correcta, pero estrictamente hablando es incorrecta. Sólo hay que tener en cuenta que " $t_1v_1+t_2v_2+\cdots+t_nv_n+t_{n+1}v_{n+1}=0$ donde $t_i=0 \forall i.$ " siempre se mantiene. Supongo que se trata de un error de expresión.