Demuestre que el grupo tiene un subgrupo normal no trivial.

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y supongamos que tiene un carácter irreducible (complejo) de grado $2$ . ¿Cómo puedo probar eso entonces? $G$ tiene un subgrupo normal no trivial?

Intenté demostrar que para la representación bidimensional $G \to \text{Aut}(V)$ Tenemos que el núcleo es trivial o no, si no lo es hemos terminado y si lo es sabemos que el centro $Z(G)=Z(\chi)$ es cíclico, tal vez en este caso el centro no es trivial y por lo tanto hemos terminado?

Estoy atascado en este momento, y estoy buscando pistas.

EDIT: Sé que un grupo $G$ tiene un subgrupo normal no trivial si tiene una clase de conjugación $C$ tal que $\mid C \mid = p^k$ para algún primo $p$ y $k > 0$ Intenté usar esto también pero no lo conseguí.

Answer 1

Si la representación tiene un núcleo, entonces está hecho. Si $\det$ de la representación es no trivial, entonces también has terminado. Si no se cumple ninguna de estas condiciones, entonces $G$ es un subgrupo finito de $SL_2(\mathbb{C})$ . A partir de aquí intenta demostrar que $G$ tiene centro no trivial. (Como bonus puedes intentar clasificar completamente los subgrupos finitos de $SL_2(\mathbb{C})$ ).

Answer 2

Sólo para ampliar la respuesta de Qiaochu Yuan, no se necesita la clasificación completa de los subgrupos finitos de ${\rm SL}(2,{\mathbb C})$ .

Desde $G$ tiene un carácter irreducible de grado $2$ , $|G|$ debe ser par, por lo que tiene un elemento $t$ de orden $2$ . Pero el único elemento de orden $2$ en ${\rm SL}(2,{\mathbb C})$ es $-I_2$ Así que $t$ debe asignarse a $-I_2$ en la representación. Dado que $-I_2 \in Z({\rm SL}(2,{\mathbb C}))$ tenemos $t \in Z(G)$ y por lo tanto $\langle t \rangle$ es un subgrupo normal propio no trivial de $G$ .