Topología de Munkres Artículo -30 Problema 5: el espacio metrizable con un conjunto denso contable tiene una base contable

Question

Demuestre que un espacio metrizable con un conjunto denso contable tiene una base contable.

Mi intento :

Dejemos que $X$ sea un espacio metrizable con un conjunto denso contable $D$ .

• Considere para cada $n\in \Bbb N;B(x,\dfrac{1}{n});x\in X$ . Siempre tenemos que $B(x,\dfrac{1}{n})\cap D\neq \emptyset $ . Sea $a\in B(x,\dfrac{1}{n})\cap D$ .
• Reclamación $\scr B$ = $\{B(a,\dfrac{1}{n});a\in D;n\in \Bbb N\}$ es una base contable de $X$ .
• Prueba:

Dejemos que $x$ sea arbitraria y $U$ sea un conjunto abierto que contenga $x$ . Entonces, para algún número entero positivo $k$ tenemos $B(x,\dfrac{1}{k})\subset U$ . Entonces $B(x,\dfrac{1}{2k})\cap D\neq \emptyset $ . Sea $b\in B(x,\dfrac{1}{2k})\cap D\implies d(x,b)<\dfrac{1}{2k}$ .

Por la desigualdad del triángulo $x\in B(b,\dfrac{1}{2k})\subset B(x,\dfrac{1}{k})\subset U$

• ¿Es correcta la prueba? Por favor, sugiera las modificaciones necesarias.

Answer 1

En realidad, casi lo consigues. Al final has demostrado que $x\in U$ . Esto es cierto desde que tomó $x$ y luego $U$ sea un conjunto abierto arbitrario que contenga $U$ .

Lo que hay que demostrar es que $$y\in B(b,\frac{1}{2k}) \qquad \Longrightarrow \qquad y\in B(x,\frac{1}{k}).$$ Esto se puede demostrar mediante la desigualdad de Triángulo.