La superficie de energía del sistema hamiltoniano es compacta

Question

Supongamos que tenemos un sistema hamiltoniano en el que la energía se conserva. (Concretamente estoy viendo un péndulo doble simple). Entonces podemos considerar la superficie de energía $M_e=\{(q,p)\in T^*M\mid H(q,p)=E\}$ . Para un sistema con $n$ grados de libertad se trata de un $(2n-1)$ -de la hipersuperficie del haz cotangente.

En todos los lugares donde leo sobre esta superficie se supone que es compacta. Sin embargo, no me parece obvio por qué debería serlo. ¿Es siempre compacta, concretamente en el caso del péndulo doble en un campo gravitatorio?

Edición: También me interesaría mucho saber si esto tiene algo que ver con el teorema de recurrencia de Poincare y, de nuevo, si se aplica específicamente al péndulo doble.

Answer 1

Para comprobar que la superficie de energía está acotada sólo hay que demostrar que $H(p,q) = E$ implica que $p,q$ están acotados. Si se tiene un $H$ esto suele ser directo.

En el caso del péndulo doble la energía total viene dada por $ E= \frac{1}{2} m \left ( v_1^2 + v_2^2 \right ) + \frac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) + m g \left ( y_1 + y_2 \right ) $ ( https://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum ). Si se reescribe esto en términos de $\theta_1, \theta_2$ y sus correspondientes momentos el resultado será directo.