Probar que una secuencia tiene límite utilizando un argumento epsilon - N

Question

Tengo dos secuencias distintas en las que utilizo este enfoque. $a_n=\frac{n^3-2n^2+3}{2n^3+7n}$ & $a_n=\frac{n^3}{2^n}$

Prueba 1

$a_n=\frac{n^3-2n^2+3}{2n^3+7n}\to \frac{1}{2}$

$$\text{Let } \epsilon \gt 0 \,\, \exists N \;\;\forall n\geq N \; \left\lvert {a_n-\frac{1}{2}}\right\rvert \lt \epsilon$$ $$\left\lvert {\frac{n^3-2n^2+3}{2n^3+7n}-\frac{1}{2}}\right\rvert=\left\lvert {\frac{(2n^3-4n^2+6)-(2n^3+7n)}{4n^3+14n}}\right\rvert=\left\lvert {\frac{-4n^2-7n+6}{4n^3+14n}}\right\rvert \lt \frac{1}{2n} \lt \epsilon$$ $$\frac{1}{2\epsilon} \lt n$$ Tengo dificultades para mostrar exactamente por qué, $\left\lvert {\frac{-4n^2-7n+6}{4n^3+14n}}\right\rvert \lt \frac{1}{2n}$

Prueba 2

$a_n=\frac{n^3}{2^n} \to 0$ $$\text{Let } \epsilon \gt 0 \,\, \exists N \;\;\forall n\geq N \; \left\lvert {a_n-0}\right\rvert \lt \epsilon$$ $$\left\lvert {\frac{n^3}{2^n}}\right\rvert=\frac{n^3}{2^n} \lt \frac{?}{?} \lt \epsilon$$ Estoy perdido en cuanto a dónde proceder en este caso. Cualquier aportación será muy apreciada. Gracias

Answer 1

En la primera prueba:

Lo más sencillo sería demostrar que $\left|\dfrac{4n^2+1}{4n^3+14n}\right|<\dfrac{1}{n}$ ya que, claramente $4n^3+n<4n^3+14n$ .

En la segunda prueba:

Para $n\ge16$ tenemos que $n^4\le2^n$ de lo que se deduce que $\dfrac{n^3}{2^n}\le\dfrac{1}{n}$ .