resto de la división de polinomios

Question

El polinomio $P$ da un resto de $5x-7$ cuando se divide por $x^2 -1$ . Encuentre el resto cuando $P$ se divide por $x-1$ .

Sé que podemos usar el teorema de Bezout. Así, para $x-1$ el resto será $-2$ . Pero no estoy seguro de que esta sea la respuesta correcta.

Answer 1

Sí, el resto será $-2$ . Lo sabemos: \begin{align*} P(x) &= Q_1(x)(x^2 - 1) + (5x - 7) \\ P(x) &= Q_2(x)(x - 1) + r \end{align*} donde $Q_1(x)$ y $Q_2(x)$ son algunos polinomios y $r$ es una constante. Al establecer $x = 1$ sabemos por la primera ecuación que $P(1) = -2$ . Haciendo lo mismo para la segunda ecuación se obtiene $r = -2$ .

Answer 2

Sugerencia $\ {\rm mod}\,\ x\!-\!1\!:\,\ \color{#c00}{x\equiv 1}\,\Rightarrow\, (\color{#c00}x^2\!-\!1)q(\color{#c00}x) + r(\color{#c00}x) \,\equiv\, (\color{#c00}1^2\!-\!1)q(\color{#c00}1) + r(\color{#c00}1)\,\equiv\, r(\color{#c00}1)\,$ por $\:\equiv$ Reglas.

Nota: $\ $ En general, hay que tener en cuenta que $\ P\equiv r\pmod{\!fg}\,\Rightarrow\,P\equiv r\pmod{\! f},\ $ por $\,f\mid fg\mid P-r,\ $ es decir, congruencias descender a los divisores del módulo. Lo anterior es un caso especial $\,f,g = x\!-\!1,x\!+\!1,\,$ que da como resultado $\ P\equiv r(x)\pmod{\!x^2\!-\!1}\,\Rightarrow\, P\equiv r(x) \pmod{\!x\!-\!1}.\,$ Pero $\ r(\color{#c00}x)\equiv r(\color{#c00}1)\pmod{x\!-\!1}.$

Answer 3

$$P(x) = (x^2-1)q(x) + (5x-7)$$

Por el teorema del resto, $P(1)$ es el resto cuando $P(x)$ es proporcionada por $x-1$ por lo que simplemente se puede evaluar $P(1)$