Cómo encontrar $\lim_\limits{x\to0}(x \sin x)^{\tan x}$ ?

Question

¿Cómo puedo encontrar $\lim\limits_{x \to 0} (x\sin x)^{\tan x}$ ?

Mi problema es: si utilizamos el logaritmo para resolver este límite no sólo resolveremos a positivos $x$ ? Quiero decir que no sería un límite por el lado derecho? ¿Cómo puedo resolver este límite por el lado izquierdo sin pérdida de generalidad?

Siento los errores de escritura y gracias :)

Answer 1

Una pista: Dejemos que $L=(x\sin x)^{\tan x}$ entonces $\ln L=\tan x \ln (x\sin x)=\frac{\ln (x\sin x)}{\cot x}$ . Ahora puedes aplicar la regla de L' Hospital.

Answer 2

Tenga en cuenta el siguiente límite estándar $$\lim_{y \to 0^{+}}y^{a}\log y = 0\tag{1}$$ para $a > 0$ que se puede utilizar aquí. Si $L$ es el límite deseado, entonces \begin{align} \log L &= \log\left\{\lim_{x \to 0}(x\sin x)^{\tan x}\right\}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\log(x\sin x)^{\tan x}\text{ (via continuity of log)}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\tan x\log(x\sin x)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{\cos x}\log(x\sin x)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\sin x\log(x\sin x)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot x \cdot\log\left(x^{2}\cdot\frac{\sin x}{x}\right)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}x \cdot\log(x^{2}) + x\log\left(\frac{\sin x}{x}\right)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}x \cdot\log(x^{2})\notag \end{align} Desde $(1)$ es fácil ver que el último límite es $0$ (poner $y = x^{2}$ y $a = 1/2$ y tenemos que considerar $x \to 0^{+}$ y $x \to 0^{-}$ por separado). Por lo tanto, $\log L = 0$ y $L = 1$ .

Answer 3

Esta no es una respuesta completa, ya que sólo se aborda el problema del límite cuando $x\to 0^+$ .

Para el cálculo del límite, considere $$A=\big(x \sin (x)\big)^{\tan x}$$ Tomar logaritmos $$\log(A)=\tan(x) \log\big(x \sin (x)\big)=\tan(x)\Big( \log(x)+ \log\big( \sin (x)\big)\Big)$$ Ahora, la serie Taylor $$\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+O\left(x^5\right)=x\big(1-\frac{x^2}{6}+O\left(x^4\right)\big)$$ $$\log\big( \sin (x)\big)=\log(x)-\frac{x^2}{6}+O\left(x^4\right)$$ $$\log(x)+\log\big( \sin (x)\big)=2\log(x)-\frac{x^2}{6}+O\left(x^4\right)$$ $$\tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+O\left(x^4\right)$$ Así que, combinando todas las piezas, $$\log(A)=2 x \log (x)+x^3 \left(\frac{2 \log (x)}{3}-\frac{1}{6}\right)+O\left(x^4\right)$$ Ahora, utilizando $A=e^{\log(A)}$ y Taylor de nuevo $$A=1+2 x \log (x)+2 x^2 \log ^2(x)+O\left(x^3\right)$$ que muestra el límite y cómo se aproxima a él.

A modo de ejemplo, utilicemos $x=0.1$ (que es bastante grande). El valor exacto es $\approx 0.629880$ mientras que la aproximación da $\approx 0.645521$ .

Probablemente, lo más impresionante será $x=0.01$ . El valor exacto es $\approx 0.912008$ mientras que la aproximación da $\approx 0.912138$ .