Suponga que tiene una función f que es infinitamente diferenciable en un intervalo I.
¿Cuando construyo una serie de Taylor P para él, con algún punto de una I, no f (x) = p (x) para todo x en I?
Estoy confundido en cuanto a si la serie de Taylor aproximar (o igual - yo no soy que sea) funciones en un punto, o en un intervalo.
Deje $f$ ser infinitamente derivable la función, y deje $T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ ser su desarrollo en serie de Taylor (decir en $x = 0$).
1) La serie de Taylor de $f$ necesidad no convergen en un punto distinto de $x = 0$. En efecto, por un famoso Teorema de Borel, para cualquier secuencia $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ de los números reales cualesquiera, existe un ser infinitamente función derivable con series de Taylor de igual a $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x_n$. Si el $a_n$ crecen muy rápidamente, por ejemplo,$a_n = n!$ -, entonces habrá convergencia sólo en $x = 0$.
2) Incluso si la serie de Taylor tiene un resultado positivo en el radio de convergencia $R$, no hay ninguna garantía de que $f(x)$ $T(x)$ debe ser igual en $(-R,R)$. Una función con esta propiedad se dice que ser analítica en $x = 0$. (Cabe mencionar que la mayoría de las funciones familiares de uno de los encuentros en el cálculo analítico.) Tal vez el ejemplo más simple de un no-analítica de la función es $f(x) = e^{\frac{-1}{x^2}}$ (e $f(0) = 0$), donde las $f$ y todos sus derivados se desvanecen en $x = 0$, lo $T(x) = 0$. Pero $f(x)$ es claramente positiva en cualquier $x \neq 0$.
Añadido: mostrar que una función es igual a su serie de Taylor en un intervalo $I$, uno tiene que mostrar, para cada una de las $x$$I$, que el resto de la función $R_n(x) = f(x) - T_n(x) = f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^n$ enfoques $0$ $n$ enfoques infinito. La más útil herramienta básica para esto es la Fórmula de Taylor para el Resto. El problema viene de abajo para tener una buena comprensión del crecimiento de los derivados a $0$ $n$ aumenta. Por ejemplo, si existe una fija $M$ tal que $|f^{(n)}(a)| \leq M$ todos los $a \in I$, entonces la Fórmula de Taylor implica inmediatamente que $R_n(x) \rightarrow 0$ todos los $x \in I$. Este es el caso, por ejemplo, para $f(x) = \cos x, \sin x, e^x$ (en el último caso tenemos que asumir que el intervalo de $I$ es limitado, aunque nos puede llevar a ser delimitada tan grande como queramos, por lo que la eventual conclusión será que $e^x$ es igual a su serie de Taylor en toda la recta real). En general esto puede ser un problema difícil, por ejemplo, porque la conclusión no tiene que ser verdadero! Libros de cálculo avanzado / primaria análisis real se tienen algunos ejemplos de dimensionamiento.
Más Añadido: Caramba, por unos minutos no me olvidé de las mil páginas de notas de la conferencia que tengo en línea! En particular, ver aquí para más detalles sobre la aplicación de la Fórmula de Taylor con Resto. Sin embargo, esta discusión está en un nivel algo más elevado que el estrictamente necesario (que provenía de un segundo semestre de pregrado real curso de análisis). Como sucede, a partir de enero voy a estar enseñando una estudiante de segundo curso de nivel de las secuencias y series, por lo que en la plenitud del tiempo podría tener más notas detalladas. De todos modos, estoy seguro de que un poco de google va a encontrar un montón de mejores notas sobre este tema...(De hecho si le da la vuelta hacia la parte de atrás de un buen cálculo del libro, que sin duda va a encontrar este material).
Sin embargo, se Agregan Más: En respuesta a una solicitud directa, aquí están los apuntes generados por mis clases, en el segundo nivel del curso de sucesiones y series. Los Capítulos marcados 0 y 1 no se utilizan realmente para el curso y probablemente son tremendamente inapropiado para la mayoría de los cursos de graduación sobre el tema. Los capítulos 2 y 3 parecen (a mí, de todos modos, mucho más en punto, y de hecho, mucho del Capítulo 3 es una reelaboración de los mayores de señalar he enlazado más arriba.
Ya que usted habla de intervalos en la recta real), tal vez también debe ser mencionado que el "hábitat natural" para la alimentación de la serie es realmente el plano complejo; el cálculo de una potencia de la serie, sólo involucra +, -, *, /, y los límites, que están bien definidas las operaciones sobre los números complejos. Y para el llamado "complejo analítica" (o "holomorphic") de las funciones, que incluye la mayoría de funciones que se puede encontrar en el cálculo, es un hecho que la serie de Taylor en cualquier punto en el plano complejo es convergente (igual a la función) en un círculo alrededor de ese punto. El tamaño de este círculo es tal que alcanza exactamente a la más cercana a la singularidad de la función. (Los círculos en el plano complejo son los homólogos de los intervalos en la recta real en este contexto).
Un ejemplo sencillo es $f(x)=1/(1+x^2)$. Si usted acaba de ver en la gráfica de esta función (por $x$ real) se ve perfectamente agradable, y no parece haber ninguna razón por la que la serie de Taylor en $x=0$ sólo se las arregla para converger a la función en el intervalo de $(-1,1)$. Pero si usted piensa de $x$ como una variable compleja, es claro que hay singularidades (división por cero) en los puntos de $x=\pm i$, que se encuentran a una distancia desde el origen, y que explica por qué la serie de Taylor converge en el interior del círculo con radio uno. (Tenga en cuenta que la intersección de este disco con el eje real es sólo el intervalo de $(-1,1)$.)
La misma cosa va para $g(x)=\arctan x$. Es derivado es $f(x)$ por encima, y cuando el derivado se singularitites, la función tiene demasiado. Así que la serie de Taylor para $g(x)$ $x=0$ es también convergente en el interior del círculo unidad.
La expansión de Taylor (truncada) está de acuerdo con la función sólo en el punto de expansión; de lo contrario, la aproximación gradualmente empeora más alejarse de su punto de expansión. Qué tan malo es depende del comportamiento de los coeficientes.
Por otra parte, si estás preguntando si una expansión de Taylor y la procedencia de la función son los mismos: en la mayoría de los casos, sí, pero allí son excepciones como $\exp\left(-\frac1{x^2}\right)$...
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