¿Existe un círculo, en la superficie de un toro, que no sea coplanar con el eje de revolución?

Question

Tengo dos preguntas muy relacionadas sobre Tori.

1. ¿Existe un círculo, en la superficie de un toro, que no sea coplanar con el eje de revolución del toro?

2. ¿Puede el centro de un círculo que está en la superficie de un toro ser el centro de otro círculo también en la superficie del toro?

¿Cómo se procede para demostrar (o refutar) esto?

Answer 1

Ambos son verdaderos, así que la forma fácil es exhibirlos:

Imagina un toro estándar con el eje de revolución a lo largo de $z$ (es decir, rotado en el plano $x$-$y$). Los cortes horizontales no son coplanares con el eje $z$ (de hecho, son perpendiculares a él). Estos son círculos (y deben serlo porque son paralelos al plano de rotación). En todos menos en la parte superior e inferior extrema, hay dos de ellos, compartiendo el mismo centro: en el eje $z$.

Para 1, además, hay dos círculos más sutiles a través de cualquier punto: http://mathworld.wolfram.com/VillarceauCircles.html, que tampoco serán coplanares con el eje $z$.

Answer 2

Si tu toro se dobla a 2r=R, entonces un par de esos círculos de Villarceau pueden ser elegidos para que se ajusten a tu nr. 2.

---rk