Si una función armónica es constante en dos puntos, entonces es constante en infinitos puntos

Question

Si $u$ es una función armónica definida en un conjunto abierto sobre $\mathbb{R}$ y sabemos que existe $x_0,y_0$ tal que $u(x_0)+u(y_0)=M$ para alguna constante $M$ Demuestre que existen infinitos puntos $(x,y)$ tal que $u(x)+u(y)=M$ .

Primero intenté utilizar la propiedad del valor medio pero como $M$ no es el máximo no puedo concluir nada utilizando desigualdades como para demostrar la propiedad del valor medio en sí. También he intentado demostrar que el conjunto $A=\{(x,y) : u(x)+u(y)=M\}$ es abierta y cerrada y como no es vacía (ya que $(x_0,y_0) \in A$ ) debe ser todo el conjunto donde $u$ está definido (ya que es un dominio, por lo que es conexo), PERO, no sé cómo demostrar que es abierto, ya que necesitaría la propiedad del valor medio. Si alguien puede ayudarme a resolver este ejercicio... Gracias

Answer 1

Sugerencia: Para todos los pequeños $r>0,$ debe existir un punto $x_r\in \{x: |x-x_0| = r\}$ tal que $u(x_r) = u(x_0).$ De lo contrario, el MVP no se mantiene en $x_0.$ Lo mismo en $y_0.$