Cómo evaluar una integral de línea cuando la curva está orientada en el sentido de las agujas del reloj

Question

Estoy tratando de calcular la integral de línea $\int_{C}^{} \frac{-y}{x^2+y^2}dx +\frac{x}{x^2+y^2}dy$ donde C es un círculo cualquiera centrado en el origen con orientación horaria.

Puedo configurar la integral sin problemas. Mi problema es con la orientación de la curva.

Si la curva está orientada en el sentido de las agujas del reloj, los límites de la integral para la parametrización no deberían ser como $\int_{0}^{-2\pi}$ ? Porque eso significaría que empezamos y $\theta = 0$ y luego viajar en el sentido de las agujas del reloj hasta llegar a $\theta = 0$ de nuevo. Además, ¿es esto equivalente a $\int_{-\pi}^{\pi}$ ?

Answer 1

Se puede hacer la sustitución ordinaria $x=r\cos\theta$ y $y = r \sin \theta$ con $\theta$ como usted dijo, corriendo los límites hacia atrás desde $0$ a $-2\pi$ .

$$\int_0^{-2\pi}$$

Como alternativa, puede hacer la sustitución $x=r\cos(-\theta) \equiv r\cos\theta$ y $y=r\sin(-\theta) \equiv -r\sin\theta$ y ejecutar los límites de forma normal, es decir, desde $0$ a $2\pi$ .

$$\int_0^{2\pi}$$