¿Qué es exactamente una "operación inducida"?

Question

Ejemplos de lugares donde veo que se utiliza esto:

Sea * una operación binaria en S y que H sea un subconjunto de S ... la operación binaria en H dada por la restricción de * a H es el operación inducida de * en H

Para un subgrupo, no es suficiente que "el conjunto de un grupo sea un subconjunto de otro, sino también que la operación de grupo sobre el subconjunto sea la operación inducida que asigna a cada par ordenado de este subconjunto el mismo elemento que asigna la operación de grupo sobre el conjunto"

Realmente no entiendo qué se supone que es una operación inducida.

¿Es esta una comprensión exacta? Si tienes la estructura binaria $\langle S,* \rangle$ entonces la operación inducida es si se hace otra estructura binaria con conjunto S' y que la operación sea la misma * que en la primera estructura binaria. En otras palabras, ¿es correcto decir que la operación * en la estructura binaria $\langle S',* \rangle$ es la operación inducida de $\langle S,* \rangle$ pero la operación *' en $\langle S',*' \rangle$ ¿no?

Todas las citas del libro "A First Course in Abstract Algebra" de John Fraleigh, 7ª edición

Answer 1

Su sugerencia es correcta, salvo que ha olvidado decir qué $S'$ tiene que ver con $S$ . Y es esto: $S'$ es un subconjunto de $S$ . Por ejemplo, la suma en $\mathbb R$ hace no inducir una operación en $(-1,1)$ ya que, en general, la suma de dos elementos de $(-1,1)$ no es un elemento de $(-1,1)$ .

Hay otro caso de operaciones inducidas, que aparece en el contexto de cocientes de estructuras algebraicas, pero no sé si estás familiarizado con ello.

Answer 2

Creo que un ejemplo es bastante revelador: consideremos $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ . Entonces $\mathbb{R}$ y $\mathbb{Q}$ son grupos para la adición habitual. Pero $\mathbb{Q}$ es también un grupo para la operación (bastante arbitraria) $a\star b= a+b+1$ .

Ahora la adición en $\mathbb{Q}$ es la operación inducida por la adición en $\mathbb{R}$ , lo que significa que si se toman dos elementos $a,b\in \mathbb{Q}$ , puedes sumarlos como números reales o como números racionales, y es lo mismo.

Por otra parte, aunque $(\mathbb{Q},\star)$ es un grupo y $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ la operación $\star$ no es la restricción de la adición en $\mathbb{R}$ no es la operación inducida, por lo que no define un subgrupo.

Por otro lado, si definimos $a\bullet b= a+ b+1$ en $\mathbb{R}$ entonces $\star$ en $\mathbb{Q}$ es la restricción de $\bullet$ en $\mathbb{R}$ Así que $(\mathbb{Q},\star)$ es un subgrupo de $(\mathbb{R},\bullet)$ .

Answer 3

Operación inducida. Definición (2.4) Dejemos que $\ast$ sea una operación binaria sobre un conjunto $S$ y que $H$ sea un subconjunto de $S$ . Si para todos $a,b \in H$ también tenemos $a\ast b \in H$ entonces $H$ está cerrado bajo $\ast$ . En este caso, la operación binaria sobre $H$ dada por la restricción de $\ast$ a $H$ es la operación inducida de $\ast$ en $H$ .

Lo anterior está citado en Sección 2 - Operaciones binarias Instructor: Yifan Yang Otoño 2006 el primer resultado en la búsqueda de Google para la operación binaria inducida.

Mi entendimiento sería que induce un nuevo magma ( un conjunto con una operación bajo la que se cierra) que si tiene ciertos elementos sería un subgrupo, subring, etc.