Si $\theta_{n, 1}, \dots ,\theta_{n, m} \stackrel{p}{\rightarrow} \theta$ , lo hace $m^{-1}\sum_{i}\theta_{n, i}$ convergen en probabilidad a $\theta$ ?

Question

Detalles de la pregunta

Si $\theta_{n, i} \stackrel{p}{\rightarrow} \theta$ para $i = 1, \dots ,m$ , donde $m$ es fijo, entonces esto implica

$$\frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}\theta_{n, i} \stackrel{p}{\rightarrow} \theta?$$

Contexto: se utiliza como lema para otras pruebas.

Intento de solución

Por favor, señale los errores.

Por la desigualdad del triángulo, $\sum_{i = 1}^{m}\lvert \theta_{n, i} - \theta \lvert \geq \lvert \sum_{i = 1}^{m}(\theta_{n, i} - \theta) \lvert$ que lleva a

$$\mathbb{1}\left(\bigg\lvert \sum_{i = 1}^{m}(\theta_{n, i} - \theta) \bigg\lvert > m\epsilon\right) \leq \mathbb{1}\left(\sum_{i = 1}^{m}\lvert \theta_{n, i} - \theta \lvert > m\epsilon\right)$$

para cualquier $\epsilon > 0$ . Tomando las expectativas de ambas partes

$$P\left(\bigg\lvert \sum_{i = 1}^{m}(\theta_{n, i} - \theta) \bigg\lvert > m\epsilon\right) \leq P\left(\sum_{i = 1}^{m}\lvert \theta_{n, i} - \theta \lvert > m\epsilon\right)$$

A continuación, aplicando el límite de unión de probabilidades,

$$P\left(\sum_{i = 1}^{m}\lvert \theta_{n, i} - \theta \lvert > m\epsilon\right) \leq P\left(\bigcup_{i = 1}^{m}(\lvert \theta_{n, i} - \theta \lvert > \epsilon)\right) \leq \sum_{i = 1}^{m}P(\lvert \theta_{n, i} - \theta \lvert > \epsilon).$$

Entonces, como $\lim_{n \rightarrow \infty}P(\lvert \theta_{n, i} - \theta\lvert > \epsilon) = 0$ por suposición, $\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i = 1}^{m}P(\lvert \theta_{n, i} - \theta \lvert > \epsilon) = 0$ , lo que implica por lo anterior

$$\lim_{n \rightarrow \infty}P\left(\bigg\lvert \sum_{i = 1}^{m}(\theta_{n, i} - \theta) \bigg\lvert > m\epsilon\right) = 0 \iff \lim_{n \rightarrow \infty}P\left(\bigg\lvert \frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}\theta_{n, i} - \theta \bigg\lvert > \epsilon\right) = 0$$

Así se demuestra que $\frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}\theta_{n, i} \stackrel{p}{\rightarrow} \theta$

Answer 1

Una forma sencilla de ver que este resultado es cierto es utilizar el teorema de la cartografía continua. Tenemos $\theta_n \to \eta$ en probabilidad donde $\eta = (\underbrace{\theta, \ldots, \theta}_{\text{$ m $ times}})$ y el mapeo $g(\theta_n) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \theta_{n,i}$ es continua. De ello se deduce que $g(\theta_n) \to g(\eta)$ en probabilidad, es decir, $\frac 1 m \sum_{i=1}^m \theta_{n,i} \to \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \theta = \theta$ . El mismo argumento funciona con la convergencia en probabilidad sustituida por otros modos de convergencia.

No veo nada de malo en el argumento que has presentado, aunque quizás quieras ser más explícito en cómo estás aplicando el límite de la unión. En concreto, tienes $[\sum_i |\theta_{n,i} - \theta| > m\epsilon] \subseteq \bigcup_i [|\theta_{n,i} - \theta| > \epsilon]$ . Y deberías ser más explícito a la hora de exponer con precisión la pregunta a la que intentas responder (no queda claro en una primera lectura que $m$ es fijo). El resultado en sí es falso en general si $m$ está creciendo con $n$ En ese caso, se necesitaría algún supuesto adicional.

Answer 2

La prueba no es válida. Usted argumenta que $$\lim_{n\to\infty} P(|\theta_{n,i}|>\epsilon)=0$$ implica $$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^m P(|\theta_{n,i}|>\epsilon)=0$$ que fallaría si, por ejemplo, $P(|\theta_{n,i}|>\epsilon)=1/i.$

La hipótesis no está planteada con precisión, pero digamos que para cualquier $\epsilon>0$ existe $M$ y $N$ de manera que si $i>M$ y $n>N$ tenemos $P(|\theta_{n,i}-\theta|>\epsilon)<\epsilon)$ lo que parece una definición razonable.

La afirmación es falsa en general. Supongamos que $\theta=0$ , para el orden. Sea $\theta_{n,i}=m$ si $i=1$ y $\theta_{n,i}=0$ de lo contrario. La hipótesis es verdadera: $|\theta_{n,i}-\theta|=0$ para todos $n$ y todos $i>1$ . La conclusión es falsa, ya que $$m^{-1}\sum_{i=1}^n\theta_{n,i}=1.$$