Algunas preguntas sobre el grupo simétrico $S_n$

Question

Que $a_n$ sea el número de permutaciones en $S_n$ tener una raíz cuadrada.

1. ¿Es verdad que el $a_{2n+1} = (2n+1)a_{2n}$? (datos experimentales muestran que esto es cierto para los valores pequeños de $n$).

2. ¿Hay alguna formula expresando $a_n$ $n$?

3. ¿Entre todos los elementos de $S_n$ los que tiene el mayor número de raíces cuadradas y cuál es este valor máximo?

Answer 1

La secuencia de $a_n$ se hace referencia aparece en la Enciclopedia en Línea de Secuencias de Enteros:

OEIS: A003483

La entrada da la siguiente información:

1. Es verdad que a $a_{2n+1} = (2n+1)a_{2n}$.

2. No parece ser una forma cerrada fórmula para $a_n$, aunque la entrada tiene una forma cerrada de la fórmula para la exponencial de generación de función.

3. La entrada también da una estimación asintótica de la forma $\displaystyle a_n \sim C \frac{n!}{\sqrt{n}}$ donde $C$ es una cierta constante.

Por cierto, observe que una permutación en $S_n$ tiene una raíz cuadrada si y sólo si su ciclo de descomposición tiene un número de ciclos de cada longitud. De esta manera se sigue inmediatamente del hecho de que el cuadrado de un $k$-el ciclo de es $k$ciclo de si $k$ es impar, y es un par de disjuntas $(k/2)$-ciclos de si $k$ es incluso.

Edit: Por cierto, ¿alguien sabe de un simple argumento de que $a_{2n+1} = (2n+1)a_{2n}$? Esto no es obvio para mí.