¿Cuántos rectángulos?

Question

P: ¿Cuántos rectángulos hay?

¿Qué debo hacer aquí? Ni siquiera sé por dónde empezar. Por favor, ayúdame dándome una pista.

Answer 1

Aquí está lo que obtuve:

$24$ rectángulos de tamaño $1\times 1$ rectángulos,

$36$ rectángulos de tamaño $1\times 2$ rectángulos,

$24$ rectángulos de tamaño $1\times 3$ rectángulos,

$16$ rectángulos de tamaño $1\times 4$ rectángulos,

$8$ rectángulos de tamaño $1\times 5$ rectángulos,

$4$ rectángulos de tamaño $1\times 6$ rectángulos,

$13$ rectángulos de tamaño $2\times 2$ rectángulos,

$16$ rectángulos de tamaño $2\times 3$ rectángulos,

$10$ rectángulos de tamaño $2\times 4$ rectángulos,

$4$ rectángulos de tamaño $2\times 5$ rectángulos,

$2$ rectángulos de tamaño $2\times 6$ rectángulos,

$4$ rectángulos de tamaño $3\times 3$ rectángulos,

$4$ rectángulos de tamaño $3\times 4$ rectángulos,

$1$ rectángulo de tamaño $4\times 4$ rectángulos,

y el rectángulo del borde.

Por lo tanto, hay $167$ rectángulos incluyendo el borde.

Answer 2

2 2x6; 4 1x6; 4 2x5; 8 1x5; 1 4x4; 4 3x4; 10 2x4; 16 1x4; 4 3x3; 16 2x3; 24 1x3; 13 2x2; 36 1x2; 24 1x1; + cuadrado grande. Total 167.

Answer 3

Por la fuerza bruta:

Aquí está el cuadrado exterior, $1$.

Luego, para cada tamaño de rectángulo, cuenta el número de posibles columnas en cada fila.

---

$1\times1\to2+4+6+6+4+2=24$

$1\times2$ o $2\times1\to1+3+5+5+3+1=18$

$1\times3$ o $3\times1\to2+4+4+2=12$

$1\times4$ o $4\times1\to1+3+3+1=8$

$1\times5$ o $5\times1\to2+2=4$

$1\times6$ o $6\times1\to1+1=2$

---

$2\times2\to1+3+5+3+1=13$

$2\times3$ o $3\times2\to2+4+2=8$

$2\times4$ o $4\times2\to1+3+1=5$

$2\times5$ o $5\times2\to2=2$

$2\times6$ o $2\times6\to1=1$

---

$3\times3\to2+2=4$

$3\times4$ o $4\times3\to1+1=2$

---

$4\times4\to1$

Para pasar de una fila a la siguiente, resta $1$ a cada elemento.

Para resumir,

$$\begin{matrix}&1&2&3&4&5&6\\ 1&24&18&12&8&4&2\\ 2&&13&8&5&2&1\\ 3&&&4&2\\ 4&&&&1\\ \end{matrix}$$

Las figuras deben reflejarse alrededor de la diagonal principal.

Total $1+42+2\cdot62=167$

Answer 4

Usando la imagen de @almagest:

Moverse a través de una fila a la vez, dejando que cada vértice sea el vértice superior izquierdo y contar los posibles vértices inferiores derechos.

Para el vértice superior izquierdo en la línea $AL$, todos esos rectángulos están en $ALGF$, y hay $6 \times 2$, $6 \times 1$ y $6 \times 0$ opciones de esquina inferior derecha, respectivamente. Esto da $18$ rectángulos con la esquina superior izquierda en $AL.

Para el vértice superior izquierdo en la línea $BK$, para la esquina superior izquierda de $B$ o $K$, el rectángulo está completamente en $BKHE$. De lo contrario, la esquina inferior derecha también podría estar en $ALGF$. Esto da $4 \times 4$, $4 \times 3 + 2$, $4 \times 2 + 1$, $4 \times 1 + 0$ y $4 \times 0$. Esto da $43$ rectángulos con la esquina superior izquierda en $BK$. El patrón siempre es el mismo, disminuyendo el producto más una secuencia decreciente de cada fila inferior disponible. A partir de aquí, indicamos contribuciones de cero cada vez menos.

Para el vértice superior izquierdo en $CJ$, $2 \times 6$, $2 \times 5 + 4$, $2 \times 4 + 3 + 2$, $2 \times 3 + 2 + 1$, $2 \times 2 + 1 + 0$, $2 \times 1 + 0 + 0$, dando $55$.

Para el vértice superior izquierdo en el segmento desde el punto medio de $CD$ hasta el punto medio de $IJ$, $1 \times 6$, $1 \times 5 + 4$, $1 \times 4 + 3 + 2$, $1 \times 3 + 2 + 1$, $1 \times 2 + 1$, y $1 \times 1$, dando $34$.

Para el vértice superior izquierdo en $DI$, $1 \times 4$, $1 \times 3 + 2$, $1 \times 2 + 1$, $1 \times 1$, dando $13$.

Para el vértice superior izquierdo en $EH$, tenemos $1 \times 2$ y $1 \times 1$, dando $3$.

Junto con el cuadrado delimitador, también un rectángulo, esto es $1+18+43+55+34+13+3 = 167$.