¿Cómo puedo demostrar que $2(\cos^6(x)-\sin^6(x))-3(\cos^4(x)+\sin^4(x))=-4\sin^6(x)-1$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $2(\cos^6(x)-\sin^6(x))-3(\cos^4(x)+\sin^4(x))=-4\sin^6(x)-1$

Traté de factorizar y obtuve $2\cos^4(x)+(-2\sin^2(x)-3)(\cos^4(x)+\sin^4(x))$ pero eso no me lleva a mi objetivo.

También intenté escribir todos los cosenos en términos de senos para tener: $-3\sin^6(x)-9\sin^2(x)-2-3\sin^4(x)$

Pero no veo cómo continuar

Cualquier sugerencia es bienvenida! thnxx

Answer 1

SUGERENCIA:

Utilice $\displaystyle \cos^2x=1-\sin^2x$

en $\cos^6x=(\cos^2x)^3,\cos^4x=(\cos^2x)^2$ en el lado izquierdo

para eliminar $\cos x$ como se esperaba en el lado derecho

Answer 2

Aplique $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ en $$\sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x)^2+(\cos^2x)^2$$

y $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$ en $$\sin^6x+\cos^6x=(\sin^2x)^3+(\cos^2x)^3$$

Por último, el reordenamiento de los términos

Answer 3

Según la ecuación:

$$2(cos^6(x) - sin^6(x)) - 3(cos^4(x) + sin^4(x)) = -4sin^6(x) - 1$$

esto significa que:

$$\frac{2(cos^6(x) - sin^6(x)) - 3(cos^4(x) + sin^4(x)) + 1}{-4} = sin^6(x)$$

Y como estamos dividiendo por un negativo donde $x\in \mathbb{Q}$ Supongo que esto significa que:

$$3(cos^4(x) + sin^4(x)) - 1 > 2(cos^6(x) - sin^6(x))$$

Lo que significa que:

$$\frac{3(cos^4(x) + sin^4(x)) - 1}{2} - cos^6(x) + 2sin^6(x) > sin^6(x) = \frac{2(cos^6(x) - sin^6(x)) - 3(cos^4(x) + sin^4(x)) + 1}{-4}$$

Por lo tanto, cuando hacemos algunas de las simplificaciones, encontramos que:

$$-4sin^6(x) - 1 < 2 - 6(cos^4(x) + sin^4(x)) + 4cos^6(x) + 8sin^6(x)$$

$$\implies sin^6(x) < \frac{3 - 6(cos^4(x) + sin^4(x)) + 4cos^6(x) + 8sin^6(x)}{-4}$$

$$\therefore \frac{3(cos^4(x) + sin^4(x)) - 1}{2} - cos^6(x) + 2sin^6(x) = \frac{3 - 6(cos^4(x) + sin^4(x)) + 4cos^6(x) + 8sin^6(x)}{-4}$$

Así que ahí tienes la prueba. Como no hay contradicción y básicamente llegamos a un hecho algo así como $-4n = \frac{-4n}{-4}$ ¡entonces no podemos ir más allá con esto, lo que significa que cada una de las ecuaciones en esta respuesta es verdadera! Así que ahí tienes. ¡Espero haber ayudado! :)