Área del triángulo designado

Question

Un rectángulo está inscrito en un triángulo con lados de $5$ , $8$ y $\sqrt{41}$ . Encuentra el área más grande del rectángulo.

No sé exactamente cómo calcular esta área. Estoy buscando la forma más rápida posible de resolver, ya que este tipo de problema aparece con bastante frecuencia en los concursos de matemáticas.

Answer 1

Dejemos que $\Delta ABC$ sea nuestro triángulo y $KLMN$ sea nuestro rectángulo.

Hay tres casos:

1) $KN\subset AC$ ;

2) $KN\subset AB$ y

3) $KN\subset BC$ .

En el primer caso, dejemos $L\in AB$ y $M\in BC$ .

Por la fórmula de Heron $$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{4}\sqrt{2(5^28^2+5^2(\sqrt{41})^2+8^2(\sqrt{41})^2)-5^4-(\sqrt{41})^4-8^4}=16.$$ Dejemos que $BD$ sea una altitud de $\Delta ABC$ .

Así, $$\frac{8BD}{2}=16,$$ que da $$BD=4.$$ Ahora, dejemos que $MN=x$ y como $\Delta LBM\sim\Delta ABC,$ obtenemos $$\frac{4-x}{4}=\frac{ML}{8},$$ que da $$ML=2(4-x).$$ Así, por AM-GM $$S_{KLMN}=2x(4-x)\leq2\left(\frac{x+4-x}{2}\right)^2=8.$$ La igualdad se produce para $x=2$ que dice que $8$ es un valor máximo en este caso.

De la misma manera podemos considerar otros casos y elegir el valor máximo.