Expresión de ideales como productos de ideales primos en un anillo noetheriano conmutativo con unidad

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo noetheriano conmutativo con unidad. Sé que lo siguiente es cierto:

Para cualquier ideal $I\subset R$ hay ideales primos $\mathfrak{p}_1,\ldots,\mathfrak{p}_n$ tal que $\mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_n\subset I$ .

Si sólo consideramos ideales propios, ¿podemos encontrar siempre ideales primos $\mathfrak{p}_1,\ldots,\mathfrak{p}_n$ tal que $\mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_n=I$ ?

Me encontré con este problema en un antiguo examen de habilitación y me tiene desconcertado. Empiezo a pensar que el problema está mal planteado. ¿Hay algún contraejemplo o el resultado es verdadero?

Answer 1

Por ejemplo, en el anillo $R=k[x,y]$ El ideal es $I=(x,y^2)$ es $P$ -primario, donde $P = (x, y)$ pero no es un poder de $P$ Así que la respuesta a su pregunta es negativa.

Answer 2

Un anillo conmutativo $R$ con la unidad se dice que es un anillo general de zpi si todo ideal de $R$ es un producto finito de ideales primos.

Ejemplos: 1) $\Bbb Z$ es un anillo general zpi; 2) $\Bbb Z[[X]]$ es noetheriano pero no es un anillo general zpi.

Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es negativa.